Importancia De La Obesidad En Niños

En un plano, tenemos

Las coordenadas del centroide de una figura dada en el plano (xy) son

y = f(x)
xc = (∯x dA) / (∯dA)
yc = (∯y dA) / (∯dA)

Ahora, hacemos rotar la figura alrededor deleje x
u : Distancia sobre el eje x
a : ángulo de giro alrededor del eje x

x -> u
y -> f(u) cos a
z -> f(u) sen a

Elemento de volúmen : Anillo de area dA a distancia f(u) con unángulo da 
dV = f(u) dA da

Para el ángulo da tenemos
∮da = ∫ [a_0_hasta_2π] da = (2π - 0) = 2π
∮cos(a) da = ∫ [a_0_hasta_2π] cos(a) da = (sen(2π) - sen (0)) = (0 - 0) = 0
∮sen(a) da = ∫[a_0_hasta_2π] sen(a) da = (-cos(2π) + cos(0)) = (-1 + 1) = 0

Entonces, para el cuerpo de revolución

Xc = (∫ ∯x dV) / (∫ ∯dV) 
Xc = (∮ ∯u f(u) dA da) / (∮ ∯ f(u) dA da) 
Xc = (∮da) * (∯u f(u) dA ) / ((∮da)* (∯f(u) dA ))
Xc = (2π) * (∯u f(u) dA ) / ((2π) * (∯f(u) dA ))
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Xc = (∯u f(u) dA ) / (∯f(u) dA )
--------------------------------------…

Yc = (∫ ∯y dV) /(∫ ∯dV) 
Yc = (∮ ∯y f(u) dA da) / (∮ ∯f(u) dA da) 
Yc = (∮ ∯u cos a f(u) dA da) / (∮ ∯f(u) dA da) 
Yc = (∮cos a da) * (∯u f(u) dA ) / ((∮da) * (∯f(u) dA ))
Yc = 0 * (∯u f(u) dA ) / ((2π) * (∯f(u)dA ))
Yc = 0

Zc = (∫ ∯z dV) / (∫ ∯dV) 
Zc = (∮ ∯z f(u) dA da) / (∮ ∯f(u) dA da) 
Zc = (∮ ∯u sen a f(u) dA da) / (∮ ∯f(u) dA da) 
Zc = (∮sen a da) * (∯u f(u) dA ) / ((∮da) * (∯f(u) dA ))
Zc =0 * (∯u f(u) dA ) / ((2π) * (∯f(u) dA ))
Zc = 0

Conclusión: 
Si giramos un cuerpo con centroide (xc,yc) alrededor del eje x,
el cuerpo resultante tendrá el centroide (Xc,0,0) sobre el eje xDe la misma forma
Si giramos un cuerpo con centroide (xc,yc) alrededor del eje y,
el cuerpo resultante tendrá el centroide (0,Yc,0) sobre el eje y

Estos resultados se pueden extender a otrosplanos iniciales y otros ejes.
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Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Se denomina sólido de...