importantes

407 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

CAPÍTULO 7
Ecuaciones diferenciales en el mundo físico.
Integración elemental
Las ecuaciones diferenciales ordinarias constituyen el objetivo natural del
análisis matemático y son una disciplina fundamental para analizar, desde la
óptica

de

las

Matemáticas,

fenómenos

físicos,químicos,

biológicos,

económicos o de ingeniería. El estudio de problemas relacionados con las
ecuaciones diferenciales ha motivado la creación, y posterior desarrollo, de
partes muy significativas del Análisis Matemático.
La obtención de la ecuación de la recta tangente a una curva
determinada, fue uno de los problemas que se planteaban los matemáticos
hasta finales del siglo XVIIcuando tuvo lugar el nacimiento del cálculo
diferencial. A partir de los descubrimientos de Newton y Leibniz, el problema de
hallar la ecuación de la recta tangente a cualquier curva pasó a ser un
problema resuelto, ya que se contaba con una poderosa herramienta para
calcularla. Sin embargo surgió también el problema inverso que resultó ser
mucho más difícil de resolver. Se trataba de calcular lacurva, conocidas las
ecuaciones de las rectas tangentes en cada uno de sus puntos, es decir, lo que
en la actualidad se conoce como la resolución o integración de una ecuación
diferencial de primer orden. Este problema se generalizó al resolver una
ecuación diferencial de orden n.
Los primeros métodos de resolución, tales como la separación de
variables o los factores integrantes, surgieronantes de finales del siglo XVII.

408 Capítulo 7º: Ecuaciones diferenciales

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Durante el siglo XVIII se desarrollaron otros métodos más sistemáticos, pero
pronto fue evidente que eran pocas las ecuaciones que podían resolverse
mediante estas reglas. Los matemáticos se dieron cuenta de que era inútil
intentar descubrir nuevosprocedimientos para resolver todas las ecuaciones
diferenciales y sin embargo sí parecía fructífero investigar si una ecuación
diferencial concreta tenía solución, determinar si era única y analizar algunas
de sus propiedades.
Este cambio de perspectiva coincidió con la época del rigor, que comenzó
a partir del siglo XIX con los trabajos de Cauchy. Por otra parte se desarrollaron
métodos numéricos quepermiten calcular, con la exactitud deseada, la
solución numérica de una ecuación diferencial de primer orden, con una
condición inicial fijada, siempre que verifique unas determinadas condiciones
de regularidad, y estos métodos se pueden aplicar a problemas concretos, sin
que importe si es o no posible resolver la ecuación diferencial en términos de
funciones elementales.
Pasados dossiglos resulta evidente que no se pueden obtener resultados
muy generales, en lo que se refiere a determinar las soluciones de una
ecuación diferencial, excepto para unos pocos tipos muy concretos entre los
que están las ecuaciones diferenciales lineales. Esto ha motivado que los
métodos numéricos sigan siendo un elemento indispensable para resolver
problemas técnicos.
La finalidad básica de lasecuaciones diferenciales es analizar el proceso
de cambio en el mundo físico. En el estudio de los fenómenos naturales
aparecen las variables relacionadas con los índices de cambio mediante las
leyes generales de la naturaleza que rigen estos fenómenos. Cuando estas

Ecuaciones diferenciales en el mundo físico 409

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relaciones seexpresan matemáticamente el resultado es, casi siempre, una
ecuación diferencial y por esta razón aparecen de forma constante en
problemas científicos y técnicos.

7.1.

NATURALEZA

DE

LAS

ECUACIONES

DIFERENCIALES
7.1.1. Primeras definiciones
Definición 7.1.1:
Una ecuación diferencial ordinaria es la que establece una relación
entre una variable independiente x, la función...