ImpReales

Los n´
umeros reales 1

OBJETIVOS PARTICULARES.
Al terminar este cap´ıtulo, el alumno debe ser capaz de:
• Identificar n´
umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.
• Conocer propiedades algebraicas y de orden (b´
asicas) de los n´
umeros reales.
• Comprender la notaci´
on de Intervalos.
• Aplicar propiedades algebraicas y de orden (b´
asicas) de los n´
umeros reales, en laresoluci´
on de desigualdades.
• Comprender la definici´
on del valor absoluto de un n´
umero real.
• Aplicar propiedades b´
asicas del valor absoluto de un n´
umero real, en la resoluci´
on de desigualdades.
• Resolver desigualdades de los tipos siguientes:
ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3 x + b3 ;
ax + b
ax + b
| ax + b | ≤ M & | ax + b | ≥ M , con M > 0;
≥0&
≥ k;
cx + d
cx +d
ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1 x + c1 ≥ a2 x2 + b2x + c2, con a1 = a2
(y las correspondientes para >, < y ≤)

CONTENIDO.
En este cap´ıtulo encontrar´
as:
Un resumen sobre conjuntos de n´
umeros en la recta num´erica o recta real.
Un resumen de la teor´ıa asociada al valor absoluto de un n´
umero real.
Un compendio de propiedades algebraicas, de orden y del valor absoluto, que son necesarias pararesolver desigualdades.
Ejercicios resueltos sobre tipos diferentes de desigualdades, haciendo ´enfasis en desigualdades de los tipos siguientes:
ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3 x + b3 ;
ax + b
ax + b
| ax + b | ≤ M & | ax + b | ≥ M , con M > 0;
≥0&
≥ k;
cx + d
cx + d
ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1x + c1 ≥ a2 x2 + b2x + c2, con a1 = a2
(y las correspondientes para >, < y ≤)Ejercicios resueltos sobre problemas que requieren de la aplicaci´
on de desigualdades.
Propuestas de autoevaluaciones (con sus respectivas soluciones).
1

2

1.1

C´
alculo Diferencial e Integral I

Introducci´
on

Los n´
umeros reales R est´
an constituidos por:
Los n´
umeros naturales o enteros positivos N:
N = {1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}
que son una parte de los n´
umeros enteros Z:
Z ={. . . , −(n + 1), −n, . . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}
que son una parte de los n´
umeros racionales Q:
Q=

p
p∈Z&q∈N
q

=

m
m & n ∈ Z, n = 0
n

m
(Esta u
´ltima expresi´
on se lee: Q es igual al conjunto de los n´
umeros de la forma
tales que m & n = 0 son enteros).
n
Usando la notaci´
on decimal, todo n´
umero racional se puede escribir como una expresi´
on decimal peri´odica, por
ejemplo:
1
1
1
= 0.333 · · · = 0.3; = 0.50, = 0.142857
3
2
7
Otros n´
umeros reales son los irracionales I , que son aquellos cuyas expresiones decimales son no peri´
odicas , como
por√
ejemplo:
2 = 1.414213562 . . .; π = 3.141592653589 . . .; e = 2.718281828 . . .
Los n´
umeros racionales Q y los irracionales I constituyen los n´
umeros reales:
R =Q∪I

1.2

Representaci´
on de los n´umeros reales

A los n´
umeros reales se les suele representar en un eje, es decir, en una recta en la cual hay un punto fijo llamado
origen 0, una unidad de longitud convencional y un sentido. A cada n´
umero real positivo r le hacemos corresponder
el punto P cuya distancia al origen es dicho n´
umero r. Al real negativo −r le hacemos corresponder el punto P que
es el sim´etrico de P con respectoal origen.
A todo punto de la recta le corresponde un n´
umero real y a dos n´
umeros reales diferentes les corresponden dos puntos
distintos.
Por esta correspondencia biun´ıvoca entre los n´
umeros reales y los puntos de un eje, es usual referirse indist´ıntamente
a un n´
umero real o a un punto.

2
1

3

2

2

1

0

1

2

2

3

´
1.3. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS
REALES

3

Es usualdibujar al eje horizontal y considerar positivo el sentido de izquierda a derecha ( lo cual no tiene implicaci´
on
pol´ıtica alguna). Por eso se usan expresiones como “a la derecha” o “a la izquierda”.
El s´ımbolo = se lee “es igual a” y divide a la expresi´
on en la que aparece, que se llama igualdad, en dos partes
llamadas miembros: lo que est´
a escrito antes que ´el es el primer miembro y lo...