Impulso unitario

 
 
 
Función impulso unitario
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circutitos eléctricos) de gran magnitud, quesolamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elétrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con unmartillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón degolf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
 
 
 Definición [Impulso unitario]
 
La función     dada por

 
donde , se conocecomo la función impulso unitario. La gráfica de la función escalón para y se muestra en la figura 1.8.
Observación: para valores pequeños de , se tiene que es una función constante de gran magnitud queesta activa por un tiempo muy corto alrededor de .

Figura 1.8
 
 
 Teorema [Area bajo la función impulso]
 
La función impulso unitario satisface la propiedad

 
y de aquí su nombre.Demostración




 


 




 
En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función de Dirac1.3
 
 
 Definición [Función delta de Dirac]
 
La funcióndelta de Dirac esta dada por

 
Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).
 
 
 Teorema[Propiedades de la función delta]
 
La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

  
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.
 
  Definición [Transformada de delta]
 
Para

 
Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

De donde tenemos...