ImpVariacion

CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

1

4.7 Variación de parámetros
El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una solución particular
yp .x/ de la ecuación diferencial ordinaria lineal (no homogénea) y se basa en el conocimiento de la solución
general de la lineal homogénea asociada a dicha edo. lineal.
Haciendo referencia a las linealesde segundo orden diremos que el método de variación de parámetros es
útil para obtener una solución particular yp .x/ de la lineal
(1)

y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/;
a partir del conocimiento de la solución general de la lineal homogénea asociada

(2)

y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0:
Si suponemos que la solución general de la lineal homogénea (2) está dada por la combinación lineal
.x/ D C1

1 .x/C C2

2 .x/;

debemos tener presente que y D 1 .x/ & y D 2 .x/ son soluciones de esta ecuación diferencial (2) tales
que W Œ 1 .x/; 2 .x/ ¤ 0 en todo el intervalo .˛; ˇ/ donde las funciones p.x/ & q.x/ son continuas. Es decir,
y D 1 .x/ & y D 2 .x/ forman un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial (2).
Supongamos pues que .x/ D C1 1 .x/ C C2 2 .x/ es la solución general dey 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0.
El método de variación de parámetros propone que la solución particular yp .x/ tenga la misma forma que
.x/, pero permitiendo variar a los parámetros C1 y C2 . Esto es, propone que yp .x/ sea
yp .x/ D u1

1 .x/

C u2

2 .x/;

donde u1 D u1 .x/ & u2 D u2 .x/ son funciones de x, desconocidas ambas y que deben ser determinadas.
¿Cómo determinar a las funciones u1 & u2 ?De la siguiente manera.
)
1 canek.azc.uam.mx:

yp D u1

yp0

D

1
0
u1 1

C u2

C

2
u1 10

15/ 1/ 2009

1

)

C u20

2

C u2

0
2

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Aquí, antes de obtener yp00 , se supone que
u10

1

C u20

2

D 0:

Esto se hace con la finalidad de que en la expresión de yp00 no aparezcan u100 & u200 , ya que la inclusión de
estas segundas derivadas en yp00 haría mucho máscompleja la obtención de las funciones u1 & u2 .
Se tiene entonces que
yp0 D u1

0
1

C u2

0
2

yp00 D u10

0
1

C u1

00
1

por lo cual
C u20

0
2

00
2

C u2

Ahora bien, yp es solución de la lineal
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/
si se cumple que
yp00 C p.x/yp0 C q.x/yp D g.x/
esto es,
Œu10
) u10

0
1
0
1

C u1 100 C u20 20 C u2 200  C p.x/Œu1 10 C u2
C u1 Œ 100 C p.x/ 10 C q.x/ 1  C u20 20 Cu2 Œ

0
2  C q.x/Œu1 1 C u2 2  D g.x/
00
0
2 C p.x/ 2 C q.x/ 2  D g.x/

)

Pero
00
1

por ser

1

&

2

C p.x/

0
1

C q.x/

1

&

D0

00
2

C p.x/

0
2

C q.x/

2

D 0;

soluciones de la homogénea. Entonces debe cumplirse que
u10

0
1

C u20

0
2

D g.x/

Concretando: las funciones u1 & u2 deben cumplir con el par de ecuaciones
u10

1

C u20

2

&

D0

u10

0
1

C u20

0
2

D g.x/

donde lasincógnitas son u10 & u20 .
Hemos obtenido un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas:
u10
u10

1
0
1

C u20
C u20

2
0
2

D0
D g.x :

¿Tiene solución única este sistema para u10 & u20 ? Veamos.
El determinante s del sistema es
s D

1
0
1

2
0
2

D W.

1;

2/

Y debido a que W . 1 ; 2 /.x/ ¤ 0 entonces s ¤ 0, por lo que el sistema de ecuaciones tiene una única
solución. Dichasolución única es

u10

0
g.x/
D
s

2
0
2

D

g.x/ 2
) u10 .x/ D
W . 1 ; 2/

g.x/ 2 .x/
W . 1 .x/; 2 .x//

4.7 Variación de parámetros

u20 D

3
1
0
1

0
g.x/
g.x/
D
s
W . 1;

1
2/

g.x/ 1 .x/
W . 1 .x/; 2 .x//

) u20 .x/ D

De donde obtenemos u1 & u2 mediante integración
u1 D

g.x/ 2 .x/
dx
W . 1 .x/; 2 .x//

&

g.x/ 1 .x/
dx
W . 1 .x/; 2 .x//

u2 D

Sustituyendo u1 .x/ & u2 .x/ en yp .x/ setiene que la solución particular de la lineal es
yp .x/ D

g.x/ 2 .x/
dx C
W . 1 .x/; 2 .x//

1 .x/

g.x/ 1 .x/
dx
W . 1 .x/; 2 .x//

2 .x/

Finalmente, podemos escribir la solución general de la lineal como
y.x/ D yp .x/ C .x/
y.x/ D yp .x/ C ŒC1 1 .x/ C C2

2 .x/

con la yp .x/ obtenida.
Ejemplo 4.7.1
Utilizando el método de variación de parametros, calcular una solución particular y escribir...