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CAPÍTULO

9
Gráfica de una función

1

9.2 Interpretación de gráficas y símbolos
Con la finalidad de reafirmar la relación existente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo y la interpretación gráfica de dicho concepto, mediante ejemplos,
trataremos de inducir al lector para que lleve a cabo actividades importantes como son las siguientes:
Apartir de la gráfica de una función f desconocida, obtener información sobre características
relevantes de dicha función f .
A partir de condiciones impuestas mediante notación simbólica a una función, bosquejar una
posible gráfica de dicha función.
A partir de la gráfica de f 0 o bien de f 00 , obtener información sobre algunas características de
la función f .
Para el éxito de estas actividadesse debe tener claridad en los conceptos, en las notaciones simbólicas
utilizadas para representarlos y en las interpretaciones gráficas asociadas a dichos conceptos.
Ejemplo 9.2.1 Bosquejar la gráfica de una función continua f que satisfaga las condiciones siguientes:
1.
2.

lím f .x/ D 1;

5. f .3/ D

x! 1

1;

6. f 0 .0/ no existe;

lím f .x/ D 0;

x!C1

7. f 0 .1/ D 0;

3. f.0/ D 0;

8. f 00 .3/ D 0;

4. f .1/ D 2;

9. f 0 .x/ > 0 si x 2 . 1; 0/ .1; C1/;

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I
10. f 0 .x/ < 0 si x 2 .0; 1/;

12. f 00 .x/ < 0 si x 2 .3; C1/.

11. f 00 .x/ > 0 si x 2 . 1; 0/ .0; 3/;

H Una gráfica posible de la función f .x/ es

y

1

3
x

 
 

2

 

1

y D f .x/

Ejemplo 9.2.2 Bosquejar la gráfica de una funcióncontinua f .x/ que satisfaga todas las condiciones siguientes:
1.
2.

lím f .x/ D C1;

8. f 0 . 3/ no existe;

lím f .x/ D 3;

9. f 0 . 1/ D 0;

x! 1

x!C1

3. f . 3/ D 0;

10. f 0 .3/ D 0;

4. f . 2/ D 2;

11. f 0 .x/ < 0 si x 2 . 1; 3/ . 1; 3/;

5. f .1/ D 0;

12. f 0 .x/ > 0 si x 2 . 3; 1/ .3; C1/;

6. f .3/ D 2;

13. f 00 .x/ < 0 si x 2 . 1; 3/ . 3; 1/ .5; C1/;7. f .5/ D 0;

14. f 00 .x/ > 0 si x 2 .1; 5/.

H Una posible gráfica de la función f .x/:
2

9.2 Interpretación de gráficas y símbolos

3
y

3
y D f .x/

2

x

¡

3

2

1

1

5

3

2

Ejemplo 9.2.3 En la figura siguiente se muestra la gráfica de la temperatura T como función del tiempo t, en
un periodo de dos días de primavera en la ciudad de Monterrey, empezandodesde las 0 horas del primer día.
Conteste lo siguiente:
1. ¿En qué intervalos de tiempo la razón de cambio T con respecto a t es positiva?
2. ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura está bajando?
3. ¿En qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba y en cuáles hacia abajo?
4. ¿En qué valores de t se localizan los puntos de inflexión y cómo los interpreta en términos de la temperatura?5. Finalmente, explique con palabras el comportamiento de la temperatura durante los dos días.
T

t
6

12

18

24

30

36

42

48

H
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
1.

dT
> 0 en los intervalos de tiempo .6; 18/ y .30; 42/.
dt

2. T decrece en los intervalos .0; 6/, .18; 30/ y .42; 48/.
3. La gráfica de T es cóncava hacia arriba en los intervalos .0; 12/ y.24; 36/.
La gráfica de T es cóncava hacia abajo en los intervalos .12; 24/ y .36; 48/.
4. Los puntos de inflexión están en t D 12, t D 24 y en t D 36. En estos puntos la razón de cambio
dT
pasa de crecer (12 y 36) a decrecer (24).
dt
5. Durante el segundo día, la temperatura tiene el mismo comportamiento (iguales características) que durante el primer día. La temperatura mínima a las seis dela mañana y la máxima a
las seis de la tarde.

Ejemplo 9.2.4 Considere la gráfica de la función f :
y

y D f .x/

¢
¢¢

¢

¢

5

3

0

¢

Determinar el conjunto de x 2 Df tales que:
1. f 0 .x/ > 0, f 0 .x/ D 0, f 0 .x/ < 0.
2. f 00 .x/ > 0, f 00 .x/ D 0, f 00 .x/ < 0.
H
1. f 0 .x/ > 0 si x 2 . 4; 3/
f 0 .x/ D 0 si x 2

3 5
4; 0; ;
2 2

;

f 0 .x/ < 0 si x 2 ....