Incremento de una variable

INCREMENTO DE UNA VARIABLE
 
Se llama incremento de una variable, a la diferencia que se obtiene de restar el valor final del valor inicial de esa variable.
Si y es una función de x , es decir, si , y la variable x de cambia de a , entonces el incremento de x , representado por es igual a: y el correspondiente incremento en y , representado por , es: , o de manera equivalente 
 
Elincremento de una variable puede ser positivo o negativo, según si, el valor de la variable aumente o disminuya.







DIFERENCIAL
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,  aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´  =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de laderivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

 
 En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0  se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemosdeterminar el incremento x0   por x0+dx, donde el incremento  dx  es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces  podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:
 (1) Para referirnos al  cambio que ocurre en el valorde f  designaremos la notación  dy.
 (2) Para referirnos al  cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente  utilizaremos la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:
Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
 
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Sedefine  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x) dx.
 

INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) +……………………… + f(xn–1)] D x = 
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
 [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
 [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x = 
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece enuna gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x obien
=  donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
=[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x
= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en elextremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x
= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
El...