Incremento

Para funciones de una variable , se define el incremento de como



y la diferencial de como



representa el cambio en la altura de la curva y representa la variación en a lo largode la recta tangente cuando varía en una cantidad .

En la siguiente figura se muestra .



Figura 1: diferencial



Observe que se aproxima a cero más rápidamente que , ya que

yal hacer , tenemos que .
Por tanto





donde conforme .


Ahora consideremos una función de dos variables .
Si y son incrementados y , entonces el correspondiente incrementode es




Con lo cual representa el cambio en el valor de cuando cambia a .



Definición


Sean una función escalar y y incrementos de y de , entonces la diferencialtotal de la variable dependiente es



Ejemplo 1
Calcule la diferencial total para la función



Las derivadas parciales están dadas por





de donde




Teorema(aproximación lineal)


Sea una función escalar continua en . Suponga que y son incrementos de y de , lo suficientemente pequeños para que , entonces si las derivadas parciales y son continuas enel incremento de la variable dependiente


puede escribirse como



donde
cuando
cuando




Los incrementos y se les llama diferenciales de las variables independientes y sedenotan por y .
Observación: Este teorema afirma que el cambio real en es aproximadamente igual a la diferencial total , cuando los incrementos y son pequeños, es decir, .


Ejemplo 2
Elradio de la base y la altura de un cono circular recto miden y , respectivamente, con un posible error en la medición de , cuando mucho. Utilice diferenciales para estimar el error máximo en elvolumen del cono.
Solución

El volumen de un cono es , con lo cual la diferencial total es




Puesto que los errores son, cuando mucho, del orden de , tenemos que y . Para estimar el...