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Cap´ıtulo 0
Sistemas de ecuaciones lineales
Dedicaremos los primeros temas de la asignatura a estudiar desde diferentes
puntos de vista los sistemas de ecuaciones lineales, qu´e son, c´omo pueden expresarse
en distintas notaciones, c´omo podemos clasificarlos... Y haremos lo mismo con sus
soluciones: qu´e son las soluciones de un sistema, qu´e tipo de conjuntos forman, en
qu´e universo est´anestas soluciones, c´omo podemos operar con ellas...
Por ejemplo, la ecuaci´on 2x = 5 es una ecuaci´on lineal en una sola inc´
ognita,
x, porque en ella intervienen solamente un coeficiente, el 2 ,que multiplica a la
inc´ognita x, y un t´ermino independiente, el 5. Una soluci´
on de la ecuaci´on ser´a
cualquier n´
umero x0 que, puesto en el lugar de la x, haga cierta la igualdad.
No es posibleencontrar un n´
umero as´ı en el conjunto de los n´
umeros naturales,
N = {0, 1, 2, . . .} ni en el de los n´
umeros enteros, Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Para encontrar una soluci´on tenemos que ir al conjunto de los n´
umeros racionales,
Q = {a/b | a, b enteros, b = 0}, donde consideramos que las fracciones a/b y c/d
representan un mismo n´
umero racional siempre que ad = bc. Es decir, comon´
umeros
racionales, 1/3 = 2/6, por ejemplo. Los n´
umeros racionales incluyen a los enteros,
ya que cada n´
umero entero a representa lo mismo que la fracci´on a/1. Escribiremos
Z ⊂ Q. Observa que tambi´en N ⊂ Z ya que los enteros incluyen a los naturales.
Cuando trabajemos con ecuaciones, debemos saber en qu´e conjunto de n´
umeros
estamos considerando la ecuaci´on porque buscaremos las solucionesen ese mismo
conjunto. En nuestro ejemplo, 2 y 5 son enteros (2, 5 ∈ Z), pero tambi´en 2 y 5 son
racionales (2, 5 ∈ Q).
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Ing. Tecn. Industriales. Curso 2015/16

Una ecuaci´
on lineal sobre Q es una expresi´on del tipo ax = b, donde el coe
ficiente a y el t´ermino independiente b son n´
umeros racionales (a, b ∈ Q). Una
soluci´
on del sistema es cualquier n´
umero racional x0 que verifique ax0= b.

Resolver una ecuaci´on es encontrar sus soluciones, si es que existen. Para resolver 2x = 5, utilizamos una propiedad de la multiplicaci´on en el conjunto Q, que
no se cumple en el conjunto Z de los n´
umeros enteros:
La existencia de un inverso del 2, 1/2 ∈ Q, por el que hemos multiplicado
ambos lados de la ecuaci´on:
2x = 5 ⇐⇒

1
5
1
· 2x = · 5 ⇐⇒ x = .
2
2
2

Observa que cualquier n´umero racional, p/q ∈ Q tiene inverso perteneciente a
Q, excepto el 0. ¿Por qu´e ocurre esto?
Ejercicio 0.0.1. Resuelve, cuando sea posible, las siguientes ecuaciones sobre Q:
(i) −3x = 2
(ii) 0x = 0

(iii) 0x = 3

(v) ax = 0 con a = 0

(iv) ax = 0 con a = 0

(vi) 0x = b con b = 0

Una ecuaci´on lineal sobre Q puede tener soluci´on u
´nica, puede tener m´as de una
soluci´on (siempre pertenecientes aQ) o puede no tener ninguna soluci´on en Q.

Cuando representamos los n´
umeros racionales sobre la recta, estos no la llenan
del todo.
Los n´
umeros que llenan la recta son los n´
umeros reales.
Denotamos el conjunto de los n´
umeros reales por R.
Los n´
umeros racionales son tambi´en n´
umeros reales, es decir, Q ⊂ R. Adem´as,
las operaciones con n´
umeros reales tienen tan buenas propiedadescomo las operaciones con n´
umeros racionales. Si llamamos K a cualquiera de esos dos conjuntos
de n´
umeros (Q o´ R), se cumple que:
(i) La suma es una operaci´on interna en K: Si a, b ∈ K, entonces a + b ∈ K.
Ing. Tecn. Industriales

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Dpto. de Matem´
aticas

Ing. Tecn. Industriales Curso 2015/16

(ii) La multiplicaci´on o producto es una operaci´on interna en K: Si a, b ∈ K,
entonces a · b ∈ K.Escribimos simplemente ab para indicar este producto.
Y, adem´as, la suma en cada uno de esos conjuntos K es
Conmutativa:, a + b = b + a.
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
Tiene el 0 como elemento neutro ya que 0 + a = a y a + 0 = a para cualquier
a del conjunto.
Existe un sim´etrico de cada a, el elemento −a ∈ K, llamado opuesto de a
que cumple a + (−a) = 0.
¿Podemos afirmar que el...