Independencia de la trayectoria

Independencia De La Trayectoria

A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cuales una integralde línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región.Si la integral de línea ∫c f (x, y, z) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y, z) ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curvaC.
El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F es continuo, entonces la integral de línea ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F esconservativo.
Función potencial
Si F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F . dr es independiente de la trayectoriasi y sólo si F (x, y, z) = (gradiente) f (x, y) para alguna función escalar f.
Integral independiente de la trayectoria
Sea (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k continuo en unaregión abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2). Si F F (x, y, z) = (gradiente) f (x, y), entonces
∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy + P(x, y, z) dz = ∫ F . dx
= f(x2, y2) – f (x1, y1) = f (x, y)]
Calcular la integral independiente de la trayectoria
La integral de línea  es independiente de la trayectoria de integración desde elpunto P hasta el punto Q si el campo vectorial satisface la ecuación  donde  es una función escalar continua o función potencial.

Si 
 es un vector unitario tangente en cualquier dirección.También se cumplirá que:

En 
Funciones escalares

Campo conservativo
    Se dice que un campo vectorial es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del...