Independencia De La Trayectoria

INTRODUCCION
El presente trabajo expone una síntesis de cálculo vectorial capítulo 15 del libro de Larsson, define términos basados en el desarrollo de integrales de línea, expone ecuaciones para resolver problemas de integrales de superficie y hallar áreas.
Esta síntesis presenta diferentes formas de resolver problemas de cálculo vectorial como el Teorema de Green, Teorema de Stokes, Teoremade la divergencia, métodos con los cuales es posible hacer análisis multivariable de vectores, ya sea en dos o en tres dimensiones, principalmente para campos vectoriales los cuales se puntualizan como campos que asocian un vector a cada punto en el espacio.

OBJETIVOS

GENERAL

* Conocer los métodos para hacer análisis de cálculo vectorial teniendo como base los teoremas definidos en elcapítulo 15 del libro de Larsson.

ESPECIFICOS

* Desarrollar con destreza y pleno conocimiento problemas de cálculo vectorial.

* Mejorar el conocimiento que se tiene de cálculo vectorial manejando con propiedad las definiciones que permiten identificar un problema para desarrollarlo con éxito.

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Si la integral de línea cF∙dr es independiente de latrayectoria tanto para una región conexa que es definida como una región que puede presentarse en el plano o en el espacio y de las dos formas recibe este nombre si es una región cerrada que se recorre en la dirección anti horaria y no se corta a sí misma, como para una región abierta en una región R es porque cumple condiciones como ser F continuo y conservativo, además de serlo en una región Rabierta de un punto fijo R a otro punto R fijo siendo equivalente para toda curva suave a trozos C.

Un ejemplo de independencia de trayectoria en una región en el plano f está definido como:

f(x,y)=cF∙dr=cMdx+Ndy

Siendo fx,y=Mi+Nj con un punto fijo en R (x0,y0) si (x,y) es un punto en R y se elige una curva suave que vaya desde el primer punto fijo al segundo punto fijo y como R es conexaesto da lugar a C

Para demostrar que f es una función potencial de F podemos seguir el teorema fundamental de las integrales de línea que define:

Si Fx,y=Mx,yi+Nx,yj es un campo vectorial definido sobre la región R y

rt=xti+ytj Con a≤t≤b y xt, yt,x`(t) y y`(t) son funciones continuas y además F es conservativo, entonces:

W=cF∙dr=c∇f∙dr=f(x,y)ab

TEOREMA DE CONDICIONESEQUIVALENTES

Este teorema permite desarrollar distinta clase de métodos para desarrollar una integral de línea con un campo vectorial conservativo. Las condiciones son las siguientes.

1. F debe ser es conservativo.
2. cF∙dr es independiente de la trayectoria
3. cF∙dr=0 para toda curva cerrada C en R.

CONSERVACION DE LA ENERGIA

Gracias a la declaración dada por Michael Faraday en1840 se dio paso a una de las leyes más importantes de la física que es la ley de conservación de la energía que dice”En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética de un objeto se mantiene constante de punto a punto”.
Para llegar a esta ley por medio de integrales de línea teniendo en cuenta que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es k=12mv2mientras la energía potencial p de una partícula en el punto (x,y,z) se define como p(x,y,z)=-f(x,y,z), donde f es la función potencial de F, esto se define como

W=cF∙dr=f(x,y,z)AB

W=cF∙dr=-p(x,y,z)AB

W=cF∙dr=pA-p(B)

Según la definición de trabajo el trabajo realizado por F

W=cF∙dr=abF∙r´tdt

=abF∙vtdt=abmv´t∙vtdt

=m2abddtvt2dt

=m2vt2badt

=12mv(b)2-12mv(a)2
=kB-k(A)TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green dice que si F es un campo vectorial definido sobre una región plana del espacio delimitada por una curva C, cuya normal exterior a lo largo de la frontera es n, esto quiere decir que sea R una región conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en contra de las manecillas del reloj. Si M y N tienen...