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Ángulos en la Circunferencia y Teoremas
Nombre Alumno o Alumna:

Curso:

Definiciones
Circunferencia: Dado un punto O y una distancia r, se llama
circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los
puntos del plano que están a la distancia r del punto O.
Radio: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta (OC ).
Cuerda: Trazo cuyos extremos sondos puntos de una circunferencia (DE).
Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC ).
Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ).
Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto
(TM). T punto de tangencia.
Arco:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (CE).

Ángulo Del Centro: Es todoángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus
lados son radios de la misma ( ∠ DOE).

Ángulo Inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus
rayos son cuerdas de ésta ( ∠ GHF).

Ejemplo
1. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) opción(es) es falsa?
A) El diámetro de una circunferencia es el doble que la de su radio
B) La mayor cuerda deuna circunferencia es el diámetro
C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes
D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro
E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

1

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro
que subtiende dichoarco.

arco DE= ∠ DOE= α
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro
que subtiende el mismo arco.

Ejemplos
1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), AB es diámetro. Entonces, el valor de α es
A) 10º
B) 20º
C) 40º
Fig. 1
D) 80º
E) 140º

2. En la circunferencia de centro O (figura 2), se cumple que BA ≅ DC y AED + BC = 3AB.
Entonces, la medida del ∠ x es
A) 45º
B) 60º
C) 72º
Fig. 2
D) 84º
E) 90º

2

TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual
medida

TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. O: centro de la circunferencia

∠ ACB= 90º

O: Centro de la circunferencia

Ejemplos
1. En el cuadrilátero inscrito en lacircunferencia de la figura 1, α - β = 120º. Si γ = ¿cuánto
mide el ángulo x?
A) 30º
B) 75º
Fig. 1
C) 105º
D) 150º
E) 155º

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro y CA ≅ BD. Si CA= 3m + 10
y el ∠ ADC = 3m - 10, entonces ∠ x + ∠ y =
A) 170º
B) 160º
C) 150º
Fig. 2
D) 140º
E) 120º

3

TEOREMA
Si un radio de una circunferencia es perpendicular a unacuerda, entonces la dimidia y
viceversa.

OD ⊥ AB ⇒ AC ≅ CB

TEOREMA
Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que
subtiende la cuerda y viceversa.

OD ⊥ AB ⇒ AD ≅ DB
Ejemplos
1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, OD ⊥ AB. Si AC = 4 cm, OC =
DC =
A)
B)
C)
D)
E)

3
BC y
4

1
BC, entonces OD mide
2

2 cm
3 cm
4cm
5 cm
10 cm

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AD = DC. Si
entonces α mide
A) 18º
B) 36º
C) 54º
D) 72º
E) No se puede determinar

Fig. 1

∠ CBD = 4α y ∠ DCB = α,

Fig. 2

4

TEOREMA
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

TEOREMA
Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia,son congruentes.

Ejemplos
1. En la figura 1, PT es tangente a la circunferencia de centro O y OT es radio. Si OP = 10 y
OT = 5, entonces PT =
A)

15

B)

5 3

C)

5 5

Fig. 1

D) 15
E) 20
2.

En la figura 2, PQ y PR son tangentes a la circunferencia de centro O, en Q y R
respectivamente. Si ∠ PQR = 6 t – 2 y ∠ PRQ = 4t + 22, entonces la medida del ángulo
QPR es:
A) 12º...