indeterminaciones

LÍMITES
Lo primero, sustituir la variable por el valor al que tiende.
Si queda una indeterminación, aplicar:

Indeterminación

k
0

Método
Se hacen los límites laterales para ver el signo ypoder decir si va
a +∞ óa −∞.

Fijarnos en el mayor grado del infinito:

∞
∞

0
0
0⋅∞


 an 
 signo   ⋅ ∞ , si n > m
 bm 

an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0  an
= , si n = m
lim
m −1
x →∞ b x m + b
+ ... + b1 x + b0  bm
m
m −1 x
0, si n < m


También, se puede dividir numerador y denominador entre
x mayor exp onente .
Factorizar ya quenumerador y denominador tienen como raíz
común el valor al que tiende la variable y simplificar el factor que
tienen en común.

Expresarlo como

∞ 0
ó y aplicar el método correspondiente.
∞ 0Ejemplo
x +1 3

lim+
=
=+∞

x + 1 3  x →2 x − 2 0+
x +1
lim
= ⇒
⇒ ∃ lim
x→2 x − 2
x →2 x − 2
x +1 3
0 
lim−
= − =−∞
 x →2 x − 2 0
Para que se haya límite, deben existir loslímites laterales y coincidir.
3x 2 − 2 x + 1 ∞
3x 2
3
3
lim 3
= = lim 3 = lim
= =0
x →∞ 4 x − x + 4
x →∞ 4 x
∞ x →∞ 4 x
∞
Otra forma:

3x 2 − 2 x + 1
3 2 1
− 2+ 3
3
3x − 2 x + 1 ∞
x
xx
x = 0 =0
lim 3
= = lim
= lim
3
x →∞ 4 x − x + 4
x
→∞
x
→∞
1 4
4x − x + 4
∞
4− 2 + 3 4
3
x
x
x
2

lim
x→2

( x − 2 ) ⋅ ( x − 1)
x 2 − 3x + 2 0
x −1 1
=
=
lim
= lim
=
2x −4
0 x→2 ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) x→2 x + 2 4

x2 + 1
x −1
x3 + ...
x3
1
⋅ 2
= ∞ ⋅ 0 = lim 3
= lim 3 =
x →∞ 2 x − 3 3 x − x + 2
x →∞ 6 x + ...
x →∞
6
6x

lim

Con fracciones:hacer la resta aplicando el mínimo común
múltiplo.

 x3 + 1 x 2 
( x 3 + 1) ⋅ ( x + 3) − x 4
lim  2 −
=
∞
−
∞
=
lim
=

x →∞
x →∞
x +3
x 2 ⋅ ( x + 3)
 x
x 4 + 3x3 + ... − x 4 ∞
=lim
= =3
x →∞
x3
∞

∞−∞
Con radicales: multiplicar numerador y denominador por el
conjugado. (Este método se aplica en cualquier indeterminación
que tenga raíces cuadradas, de forma que se...