Indeterminaciones

INDETERMINACIONES
Hay siete tipos distintos de indeterminaciones cuando calculamos límites y las debemos
conocer y aprender a solucionar. De algunas hay métodos directos para solucionarlas,
mientras que otras recurren al tan famoso método de los matemáticos de “reducirlo al caso
anterior” y solucionarlo así. Por suerte, aparte de los métodos más o menos directos, existe la
regla de L’Hopital quees como una especie de varita mágica que soluciona lo que no es
evidente. Las siete indeterminaciones son:
0
,
0

∞
,
∞

0 · ∞,

∞ − ∞,

∞ ,

0 ,

1

Son indeterminaciones porque, si miramos la expresión “por un lado” o “por el otro”, nos dan
resultados distintos. Por ejemplo, la primera indeterminación, si la miro “por arriba”, 0 dividido
por cualquier cosa es siempre 0, pero si la miro “porabajo”, cualquier cosa dividida por 0 es ∞.
Por lo tanto, no nos ponemos de acuerdo, es una indeterminación. Por ejemplo, la quinta
indeterminación, si la miro “por la base”, ∞ elevado a cualquier cosa es ∞, pero si la miro “por
el exponente”, cualquier cosa elevada a 0 es 1. Por lo tanto, no nos ponemos de acuerdo, es
una indeterminación. Hay una expresión que parece una indeterminación, pero que nolo es.
La veremos al final. Ahora veamos cada indeterminación por separado.
Caso 0/0
Vamos a distinguir dos casos. Supongamos que estamos calculando un límite que nos da 0/0 y
que, tanto la expresión del numerador como la del denominador son un polinomio. Es decir,
tenemos algo parecido a:
−
−4

lim
→

−5 −3
27 − 9 − 15 − 3
0
=
=
− 3 + 18
27 − 36 − 9 + 18
0

Si os fijáis bien, resulta que x=3 esuna raíz tanto del polinomio del numerador como del
polinomio del denominador (una raíz es el valor que hace cero el polinomio). Por lo tanto, eso
quiere decir que, tanto el polinomio del numerador como el del denominador los podemos
descomponer en (x – 3)·“otro polinomio”. Lo único que hemos de hacer es aplicar Ruffini a los
dos polinomios y tenemos que:
−
−4

− 5 − 3 = ( − 3) · (

+ 2 + 1)− 3 + 18 = ( − 3) · (

− 6 + 9)

Por lo tanto, nuestro límite queda:
lim
→

−
−4

( − 3) · (
−5 −3
= lim
→ ( − 3) · (
− 3 + 18

(
+ 2 + 1)
= lim
→ (
− 6 + 9)

+ 2 + 1)
16
=
=∞
− 6 + 9)
0

El segundo caso (que se puede aplicar también a esta primera versión) es que tengamos un
cociente de “funciones extrañas” y que se anulen el numerador y el denominador. Entonces, lo
más cómodo es irdirectamente a la regla de L’Hopital y a tomar viento. Por ejemplo:

lim

1−


→

=

1−1
0
=
0
0

En este caso, aplicamos la regla de L’Hopìtal, que consiste en derivar POR SEPARADO el
numerador y el denominador (NUNCA haciendo la derivada del cociente EHHHHH?). En este
caso tenemos que:
lim
→

1−


= lim
→

−
cos

=

−
−1
=
= −1
1
1

Si la aplicáramos al primer caso tendríamos:
lim
→

−−4

−5 −3
3
= lim
→ 3
− 3 + 18

−2 −5
27 − 6 − 5
16
=
=
= ∞
−8 −3
27 − 24 − 3
0

Y como veis, cuadra con lo anterior. Así que, como queráis. Podéis aplicar L’Hopital desde el
principio o podéis “haceros-los-interesantes-que-dominan-el-tema-polinomios” y aplicar el
primer método….
Caso ∞/∞
Aquí también hay dos métodos. Uno más directo y el otro, nuestra bien amada regla de
L’Hopital. El primermétodo consiste en “comprobar-qué-infinito-es-más-grande”.
¿Comoooooorrrrrr? Pues sí. Hay infinitos más grandes que otros y eso nos sirve para
comparar. Simplificando mucho, quedémonos con que:
1. Las más grandes son las exponenciales.
2. Luego van las polinómicas.
3. Las piltrafillas son los logaritmos.
Para acabar de cerrar el tema, cuando comparamos exponenciales, a mayor base, mayor
infinito.Cuando comparamos polinomios, a mayor exponente, mayor infinito. Por ejemplo:
lim

)

log(

→

Al comparar infinitos tenemos arriba un logaritmo y abajo un polinomio, por lo tanto gana el
de abajo, es como si tuviéramos 1/∞, por lo tanto:
lim

log(

→

)

=0

Por ejemplo:
lim

√

−3

+3

→

Al comparar infinitos, arriba tengo un exponente máximo de 7/2, y debajo de 3. Como 7/2 > 3,
gana el de...