index

De las Trisectrices, la Cicloide y otras
Curvas
por
Luis Carlos de Andrés, Universidad del País Vasco

Al preparar el contenido de esta charla y ver qué curvas iban a estar incluídas, me
llamó la atención el hecho de que en muchos de los lugares de consulta aparece
repetida una frase del estilo de “curva ... estudiada por ..., para la resoluci´
on
del problema ...”, pero en casi ninguno se dicecómo se utiliza la tal curva para
resolver el problema considerado. Esta frase indica que el estudio de las curvas no
es un mero ejercicio de dibujo de las curvas por sí mismas, sino el de su relación con
la resolución de ciertos problemas bien sean matemáticos, físicos o de ingeniería.
A partir de la definición, con un conjunto elemental de dibujo (regla, compás y
escuadra) se puede obtener unagran cantidad de puntos, aunque no todos, de una
curva y dibujar su forma aproximada; desde la aparición del ordenador es muy fácil
obtener un dibujo de las curvas; naturalmente, una vez efectuado el trabajo previo
de encontrar sus ecuaciones paramétricas, implícitas o polares y el aprendizaje del
manejo de los recursos informáticos correspondientes.
Los dibujos que aparecen aquí están creados conMathematica. También lo
fueron las animaciones que se vieron en la charla pero como aquí no se pueden
presentar, he sustituido algunas de ellas por diversas instantáneas del movimiento,
por ejemplo las figuras 17, 30 y 42).
45

46

3. De las Trisectrices, la Cicloide y otras Curvas

Otro punto a considerar es el de la elección de las curvas que se van a tratar,
hay una gran cantidad de curvas “connombre propio”, de las que he seleccionado
unas cuantas y añadido algunas construcciones geométricas que ponen de manifiesto cómo aparecen en la resolución de problemas.
Las primeras curvas consideradas fueron, evidentemente, las rectas y las circunferencias. Con los instrumentos que permiten dibujarlas (regla no graduada
y compás) en la antigüedad clásica se plantearon y resolvieron gran cantidadde
problema geométricos, pero quedaron sin resolver (utilizando sólo los instrumentos
anteriores) los tres problemas clásicos:
• Cuadratura del círculo: hallar un cuadrado con el mismo área que un círculo
dado, o equivalentemente, hallar un segmento de recta con la misma longitud
que una circunferencia dada.
• Duplicación del cubo: construir un cubo que tenga el doble volumen que uno
dado, oequivalentemente hallar dos medias proporcionales entre dos segmentos dados.
• Trisección de un ángulo: dado un ángulo, hallar el ángulo que es su tercera
parte.
A pesar de que se ha demostrado que estos tres problemas no son resolubles
según el método clásico de utilizar sólamente regla no graduada y compás, no es
raro que cada poco aparezcan, ahora en Intenet, “cuadradores”, “duplicadores” o“trisectores” aficionados. La mayoría de las veces los errores en sus construcciones
son evidentes pero otras, las construcciones son tan enrevesadas que no es fácil
encontrar dónde está el error.

Trisectrices
El tercer problema mencionado anteriormente es de una naturaleza distinta a la
de los dos primeros en el sentido de que ningún círculo se puede cuadrar, ningún
cubo se puede duplicar, pero sí quehay determinados ángulos que se pueden trisecar: son muy conocidas las determinaciones de la tercera parte de un ángulo llano
o la tercera parte de un ángulo recto.
A continuación veremos algunas de las curvas que se han estudiado en relación
con la resolución de este problema, por lo que reciben el nombre genérico de trisectrices.

47
Cuadratriz de Hip´ıas
Históricamente (siglo V a.C.), ésta es laprimera curva (es de suponer que en un

Figura 17 Distintas fases de la construcci´
on de la Cuadratriz de Hip´ıas
principio se llamaría trisectriz de Hip´ıas), distinta de las rectas y circunferencias,
que aparece, incluso antes que las cónicas. Esta curva está definida mecánicamente
como el lugar de intersección de dos rectas: una horizontal que se mueve a velocidad constante en dirección...