indivodual 1

Motivación

WAU

Cálculo I

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Sesión 1: Números Complejos

Cálculo I

Universidad de Ingeniería y Tecnología

17 de marzo de 2014

Objetivos

Denir a los números complejos.
Operar con números complejos.
Usar la forma polar y exponencial.
Usar el Teorema de Moivre para el cálculo

Cálculo I

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Índice
1

Introducción

2

Operaciones en C

3Forma Cartesiana

4

Complejo Conjugado y Modulo

5

Forma Trigonométrica de z ∈ C

6

Forma Exponencial

Cálculo I

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Introducción

Denición
Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y denotado como
z = (x , y )
El conjunto de números complejos es denotado por C y puede ser identicado como en
el plano cartesiano R2 .

x ∈ R se llama parte realde z y se escribe x = Re (z )
y ∈ R se llama parte imaginaria de z y se escribe x = Im(z )
Introducción

Cálculo I

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El conjunto A = {z ∈ C : z = (x , 0), x ∈ R}, es el Eje Real que puede ser
identicado como la recta real R. por eso escribimos R ⊂ C.

El conjunto B = {z ∈ C : z = (0, y ), y ∈ R}, es el Eje Imaginario y los números de
B se llaman imaginarios puros.
El cero de Ces el par (0, 0).
Introducción

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Operaciones en

C

Dos números complejos z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ) son iguales si y solo si sus partes
reales e imaginarias son iguales:
z1 = z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2
En particular, un número complejo z1 = (x1 , y1 ) es nulo si
z1 = 0 ⇔ x1 = 0, y1 = 0
La suma y producto son denidos como:
z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 )= (x1 + x2 , y1 + y2 )
z1 z2 = (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
En particular:(x , 0) + (0, y ) = (x , y ), (0, 1)(y , 0) = (0, y ) y luego
Operaciones en C

z = (x , y ) = (x , 0) + (0, 1)(y , 0)
Cálculo I

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Forma cartesiana de un número complejo

Identicamos el número complejo (x , 0) como el número real x.
Denimos i = (0, 1). i.e unidad imaginariaDe la relación z = (x , y ) = (x , 0) + (0, 1)(y , 0), obtenemos
z=x+iy
se llama forma algebraica o cartesiana del número complejo z.
Observamos que i 2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.

Forma Cartesiana

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Continuación...

Todos los números complejos con parte imaginaria nula (y = Imz = 0) están sobre el
eje Real Re. x = x + 0i, Todos los números complejos conparte real nula
(x = Re (z ) = 0) están sobre el eje Imaginario. iy = 0 + iy = yi
Forma Cartesiana

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Operaciones en forma cartesiana

Suma :
Ejm:
Diferencia :
Producto:

(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 )
(3 + i2) + (−2 + i ) = (3 − 2) + i (2 + 1) = 1 + i3 = 1 + 3i
(x1 − iy1 ) + (x2 − iy2 ) = (x1 − x2 ) + i (y1 − y2 )
(x1 + iy1 ).(x2 + iy2 ) =x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i 2 y1 y2
= x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + (−1)y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 )

Ejm:
Forma Cartesiana

(3 + i2)(−2 + i ) = (−6 − 2) + i (3 − 4) = −8 − i
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Complejo Conjugado y Modulo

Denición
Dado el número z

= x + ix ∈ C,

el número complejo z

¯ = x − iy

= x + iy ∈ C,

el número real

es el complejo conjugadode z .

Denición
Dado el número z

|z | =

x

2

+ y2

es llamado

modulo

de z .

Representa la distancia del número complejo del complejo nulo.

¯

z y conjugado z tienen el mismo módulo:

Complejo Conjugado y Modulo

|z | = |¯|
z

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Inverso de un número complejo

La división de dos números complejos y el producto de la primera por lainversa de la
segunda
1
z1
= z1 .
z2
z2
Para realizar la división entre dos números complejos se tiene que construir la inversa
1
,∀z ∈ C, z = 0 + i0.
z
¯
¯
1
1
1 x − iy
z
x − iy
z
=
=
.
=
=
= 2
z
x + iy
x + iy x − iy
z .¯ x 2 + y 2
z
|z |

Ejm.

1

3 − i2

=

Complejo Conjugado y Modulo

3 + i2
13
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Operaciones y Complejo Conjugado...