Inducción

1. INTRODUCCIO ́N
El m ́etodo deductivo, muy usado en matema ́tica, obedece a la siguiente idea: “ A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostracio ́n y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combi- nando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lo ́gicas”.
Otro m ́etodo para demostrar resultadosgenerales que dependen en algu ́n sentido de los nu ́meros naturales es conocido con el nombre de Induccio ́n Mat ́ematica . Esta dependencia de los nu ́meros naturales significa: se sabe que unadeterminada afirmacio ́n es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿ Dicha afirmacio ́n sigue siendo verdadera para los infinitos nu ́meros naturales restante ?.Existen muchas afirmaciones que so ́lo son va ́lidas para un nu ́mero finito de casos y en consecuencia son falsas para un nu ́mero infinitos de situaciones. Sin embargo, podemos encontrarproposiciones (afirmaciones) que son verdaderas so ́lo a partir de un cierto nu ́mero natural n0, de ser asi, la t ́ecnica que se desarrollaremos se llama Induccio ́n Incompleta. Para demostrar queuna proposicio ́n p(n) , ∀n ∈ M ⊆ N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto M. En el caso en que M= N, diremos que es una Induccio ́nCompleta.
Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicio ́n p(n), ∀n ∈ M ⊆ N, es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p(m) sea falsa.
( Construccio ́nde un contra ejemplo).
Ejemplo 1. ∀n∈N,n2 −3n−1 0. No ́tese que este ejemplo sencillo muestra que una proposicio ́n puede ser verdadera para los primeros nu ́meros naturales, sin embargo, esfalsa , para nu ́meros naturales ma ́s grandes.
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