Inducci N Matem Tica Ejercicios Resueltos Parte1

Inducci´
on matem´
atica
Randall Alfaro Gonz´alez
Abril, 2015

1

Introducci´
on

La inducci´on es una t´ecnica que permite la demostraci´
on de una propiedad que se cumple
para ∀n ∈ N. Consiste endemostrar que cierta propiedad es v´
alida para un n en particular
y luego probar si esa misma propiedad se cumple para la cantidad de n´
umeros infinitos que
le siguen a ese n en particular.
Lainducci´on se basa en la ley de inferencia de la l´
ogica Modus Ponens, de la siguiente
manera:
Proposici´on
Pasos para Modus Ponens
P
1.P(n) es verdadera
P→ Q
2.P(n) es verdadera → P(n+1) es verdadera
Q(M.P.)
3.P(n+1) es verdadera

2

Ejemplos resueltos

Ejercicio 1.
∀n ∈ N , la suma de los n´
umeros impares menores que 2n es igual a n2
Datos importantes:
-Como la suma es de n´
umeros menores a 2n,entonces el tope de la sumatoria ser´ıa 2n-1
-La sumatoria empieza con n´
umeros impares, como 1,3,5, etc
Hay que demostrar entonces que:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2
Pasos para demostraci´
on:1

(1)

Paso a.
.Prueba con n=1
2(1) − 1 = 12 → 1 = 1
*Por lo tanto, sirve para n=1
Nota: No sirve con 0 porque si lo evaluamos con 2n − 1, da como resultado -1 y este
es un n´
umero impar, pero nopertenece a N
Paso b.
Nota: Se debe usar la hip´
otesis comprobada en la primer parte. Se debe entonces buscar
donde se pueda sustituir dentro de la nueva hip´
otesis a comprobar (con n+1). No siemprese encuentra de forma directa, como s´ı sucede en este ejemplo.
.Prueba para n+1
-Se agrega un t´ermino en la sumatoria el cual debe contener a n+1 en donde se encuentre
n
-Se sustituye la n por n+1del otro lado de la igualdad tambi´en
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1) = (n + 1)2
-Se debe empezar con la sumatoria para luego llegar a (n + 1)2

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) + (2(n +1) − 1)
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) + (2n + 2 − 1)
[ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)] + (2n + 1)
[ n2 ] + (2n + 1) {Por hip´
otesis en el paso a}
n2 + 2n + 1
(n + 1)2 {F´ormula notable}
∴ Se cumple...