INDUCCI N MATEM TICA

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable  que toma una infinidad de valores. En términos simples, lainducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
El número entero  tiene la propiedad . El hecho de que cualquier número entero  también tenga la propiedad  implica que  también la tiene.Entonces todos los números enteros a partir de  tienen la propiedad.
La demostración está basada en el axioma (afirmación evidente) denominado principio de la inducción matemática.
En lógica ymatemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas«afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

Llamemos  a la proposición, donde  es el rango.
Base- Se demuestra que  es cierta, esto esel primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
Paso inductivo- Se demuestra que si  es cierta, esto es, como hipótesis inductiva, entonces  lo es también, y esto sincondición sobre el entero natural  (relación de inducción. Indicado como).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que  es cierto para todo natural.
La inducción puede empezar por otro término que nosea, digamos por. Entonces  será válido a partir del número, es decir, para todo natural.
EJEMPLO:

Para el caso n=1, o sea, con una recta, es evidente, pues (12+1+2)/2 = 2 regiones.
    Para n>1suponemos que la fórmula es cierta para n−1 rectas. Al añadir una nueva recta en las condiciones del enunciado, esta recta cortará a las rectas anteriores en n−1 puntos. Estos n−1 puntos dividen a lanueva recta en n trozos (segmentos y semirrectas). Y cada trozo divide una región del plano diferente, por lo que aparecen n regiones más que hay que sumar a la hipótesis de inducción. Por...