Inducci n matematica

Agosto, 2015

Facultad de Ingeniería UAS, Los Mochis
Materia: Algebra Geometría Analítica
Profesor: Francisco López Bátiz
Alumnos: José Rojo Nafarrate y Pablo Humberto Silva Lizárraga
Grupo: 105

Elprincipio de Inducción Matemática
es un método que se utiliza para
demostrar propiedades, formulas,
validarlas y probar que son
verdaderas.
Es un método simple que consta de
tres pasos fundamentalesen los
cuales se debe demostrar la
propiedad reemplazando su
incógnita por 1, luego por k y
finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la
Inducción Matemática se detallan en
el contenido delpresente trabajo de
investigación.

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:
1 satisface a P y, k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1)satisface P,
entonces todos los números naturales satisfacen P.
Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números
Naturales, de ciertas proposiciones P que depende deuna variable n, con n perteneciente a los
Naturales.
Procederemos de la siguiente manera:
Verificaremos la proposición para el numero 1.

Supondremos que la proposición es verdadera para un numeronatural cualquiera k. (Hipótesis de
inducción).
Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).
Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición lasatisfacen
todos los números naturales.

 Ejemplo 2:
 Demuestre usando Inducción Matemática
que:
n
 " i3 = n2 (n+1)2
 i=1 4
 1° Usando n = 1
1
 " i3 = 12 (1+1)2
 i =1 4
1
 " 1 = 1(4)
 i =1 4
1
"1=4=1
 i=1 4
 2° Supongamos valido para n = k
k
 " i3 = k2 (k+1)2
 i=1 4
 3° Por demostrar valido para n = k+1
 k+1

" i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza
termino igual al de arriba
i=1 4
= (k+1)2(k+2)2 esto se debe demostrar
4
k+1 k
" i3 = " i3 + (k+1)3
i =1 i =1
= k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 +
(k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1)
444
= (k+1)2( k2 +4(k+1)
= (k+1)2 (k2 +4k+4)
4
= (k+1)2 (k+2)2...