Induccion Completa

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n\, que toma una infinidad de valores enteros. Entérminos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a\, tiene la propiedad P\,.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número enteron\, tenga la propiedad P\, implica que n+1\, también la tiene (que se anota coloquialmente como n\Rightarrow n+1).
Conclusión: Todos los números enteros a partir de a\, tienen la propiedad P\,.
Conmás rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de lainducción matemática.Demostraciones por inducción[editar]
El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos P_n\, a la proposición,donde n\, es el rango.

Se demuestra que P_0\,, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
Se demuestra que si se supone P_n\, como cierta y como hipótesisinductiva, entonces P_{n+1}\, lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n\, (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que P_n\, es cierto para todonatural n\,.

La inducción puede empezar por otro término que P_0\,, digamos por P_{n_0}\,. Entonces P_n\, será válido a partir del número n_0\,, es decir, para todo natural n \ge n_0\,.

Ejemplo2[editar]
Véase también: Sumatorio
Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:
\sum_{k=1}^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^{n+1} + 3 \forall n \in \mathbb{N}
1. Se comprueba para n=1\sum_{k=1}^1 (2 - 1) 3^1 = 3 = (1 - 1) 3^{1+1} + 3
Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1
2. Hipótesis inductiva (n=h)
\sum_{k=1}^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3
3....