Induccion matematica

Ejercicios - Inducci´n matem´tica o a
Prof. Edwin Fl´rez G. o
Utilice Inducci´n matem´tica para demostrar que la f´rmula dada se cumple o a o para toda n ∈ Nk , los naturales iniciando desde ciertok. Determine el valor de k.

1.

Los de empezar

1. 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 . 2. 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n = n(n + 1). 3. 2 + 3 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) = 4. 1 2
n

n(3n +1) . 2

<

1 . n
n[2a+(n−1)d] . 2

5. a + (a + d) + (a + 2d) + · · · + (a + (n − 1)d) = 6. 2n < n! donde n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)n. 7. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n − 1) = 8. 12 + 32 +52 + · · · + (2n − 1)2 = 9. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 10. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n(n + 1)(n + 2) . 3

n(2n − 1)(2n + 1) . 3

n(n + 1)(2n + 1) . 6 n(n + 1) 2 1
2

.

11. 14 + 24 +34 + · · · + n4 =

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1) . 30 3n+1 − 1 . 2

12. 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1. 13. 1 + 3 + 9 + 27 + · · · + 3n = 14. 1 + 15. 1 − 16.

1 1 1 1 + + ··· + n = 2 − n. 24 2 2 1 1 1 + − ··· + − n 3 9 3 = 3 1 1 − − n+1 4 3 .

22

1 1 1 1 3 1 1 + 2 + 2 +· · ·+ = − − . 2−1 −1 3 −1 4 −1 (n + 1) 4 2(n + 1) 2(n + 1)

17. n2 + n es par. 18. n3 − n es divisible entre6. 19. n(n2 + 5) es divisible entre 6.

2.

Los intermedios
n2 − n + 2. 12

1. n <

2. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre 9. 3. x + y es un factor de xn + y n . 4. 3n + 25 < 3n . 5. |sen nx| ≤ n| sen x| para todo x. 6. x − y es un factor de xn − y n . 7. Demuestre que si 2k − 1 es un entero par para alg´n entero k, entonces u 2(k + 1) − 1 = 2k + 2 − 1 = 2k + 1 es tambi´n unentero par. ¿Puede e obtener una conclusi´n a partir de la demostraci´n? o o a ıgono convexo 8. La suma de las medidas de los ´ngulos interiores de un pol´ de n lados (sin hoyos ni aboyaduras) es (n − 2)π.2

9. El n´mero de diagonales de un pol´ u ıgono convexo de n lados es 10. 11. 1 1 1 1 3 + + + ··· + > . n+1 n+2 n+3 2n 5 1− 1 4 1− 1 9 1− 1 9 ··· 1 − 1 n2 = n+1 . 2n

n(n−3) . 3

12. Sea f0...