Induccion Matematica

Inducci´n Matematica o
Coaquira Rafael Hugo Luque Quispe Maria del Carmen Pacheco Talavera Jos´ Erix´n e o Ramos Quispe Lidia Fiorella 23 de Abril del 2010

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´ Indice general
1. Introducci´n o 2. El Principio de la Inducci´n o 2.1. Principio simple de inducci´n (PSI) . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Principio de inducci´n por curso de valores . . . . . . . . . . . o 2.3. Principiodel buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 8 8 8

3. Demostraci´n de proposiciones por inducci´n o o 11 3.1. Inducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 3.2. La inducci´n matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o a 4. Aplicaci´n de la inducci´n o o 5. Demostraci´n por recursividad o 5.1. Demostraci´n por recursividad . . . . . . . . .. . . . o 5.2. Consideraciones en la demostraci´n por recursividad . o 5.3. El principio de la demostraci´n por recursividad . . . o 5.4. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Clonclusi´n o 15 17 17 18 18 18 23

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Cap´ ıtulo 1

Introducci´n o
Todos los matem´ticos y personajes relacionados con esta area,saben a ´ hoy en d´ que las afirmaciones matem´ticas y otras conjeturas deben de ser ıa a demostrados, para ello es necesario utilizar herramientas que nos permitan esto, una de ellas es la inducci´n matem´tica. o a Sera posible conocer m´s aun algo conociendo primero su lado opuesto?. a Sera posible conocer un valor conociendo primero su contravalor? Antes que nada los miembros que hicieron posibleeste trabajo, desean esbozar, que existen principios fundamentales que ayudan a cada ser humano a evolucionar permanente. El conocimiento es parte de esta inquietud de querer alcanzar la esencia filos´fica del conocimiento y la verdad. Dentro o de estos principios fundamentales, estudiantes de carreras afines a la computaci´n ignoran seguramente temas relacionados con el buen orden que debe o deexistir este mundo. El objetivo de este trabajo es introducirlos en este fascinante mundo, en la presente monograf´ se ha de mostrar el desarrollo de ıas, los conceptos b´sicos para la adquisici´n de herramientas que nos permitan a o determinar el buen orden como es la inducci´n Matem´tica, que es, una de o a las herramientas b´sicas utiles en la algoritmia, quiz´ no haya ninguna m´s a ´ a aimportante que la inducci´n matem´tica. No solo nos permite demostrar proo a piedades interesantes acerca de la correcci´n y eficacia de los algoritmos, sino o que adem´s que se puede incluso utilizarse para determinar que propiedades a es preciso probar. La inducci´n matem´tica es una herramienta de uso pr´ctico y te´rico en o a a o las matem´ticas y ciencias computacionales lo que hace que su estudio,sea a de vital importancia en el desarrollo de nuestra preparaci´n. o 5

6 El principio de Inducci´n Matem´tica es un m´todo que se utiliza para o a e demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas. Es un m´todo simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se e debe demostrar la propiedad reemplazando su inc´gnita por 1, luego por k o y finalmente por k+1.En cualquier ciencia experimental, la inducci´n es el o proceso de obtener un resultado general a partir del an´lisis de casos partia culares. De esta forma, observando la ca´ de una serie de cuerpos pesados, ıda se induce que cualquier cuerpo m´s pesado que el aire cae por la acci´n de a o la gravedad. Este hecho se considerara valido mientras no se encuentre un cuerpo m´s pesado que el aire queno caiga. G. Peano (1858-1932) propuso a cinco propiedades fundamentales que caracterizan a los n´meros naturales, u Axiomas de Peano. Una de ellas conocida como el Principio de Inducci´n o Matem´tica es actualmente una herramienta de uso pr´ctico y te´rico prina a o cipalmente para matem´ticos y personas que trabajan en Ciencias Compua tacionales. El principio lo enunciaremos para los enteros...