induccion matematica
Páginas: 5 (1008 palabras)
Publicado: 24 de enero de 2014
INTRODUCCIÓN
El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: “A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas".
Otro método para demostrar resultados generales quedependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática. Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta: ¿dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes?
Esta pregunta la contestaremos en las siguientespáginas.
INDUCCION MATEMATICA
HISTORIA
La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico y matemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).[
Principio de buen ordenamiento.
Todo subconjunto del conjunto de los números naturales tiene un primer elemento, también llamado elemento mínimo.
En algunasocasiones, es necesario demostrar que P(n), una proposición abierta, es válida para todos los números naturales (o para algún subconjunto infinito de IN); para ello, se debe probar que la proposición dada es verdadera para cada uno de los elementos de IN.
Claro que, como el conjunto de los números naturales es infinito, esta afirmación no siempre es fácil de probar. Con esta finalidad, vamos autilizar un método de demostración que se fundamenta en la regla de inferencia modus ponens y en los axiomas de Peano, que se enuncia como:
El método de inducción matemática se utiliza para demostrar que una proposición de la forma (Vn e IN) [P (n)] es verdadera.
Para esto, basta demostrar que
1. P (0) es verdadera.
2. Si P (n) es verdadera, entonces P (n+1) es verdadera.
Esdecir, se prueba la validez de la proposición abierta en n = 0, se asume la validez de la proposición para n, a esta hipótesis se le conoce como hipótesis de inducción (H.I), y se demuestra que la proposición es válida para n + 1, este último se conoce como el paso inductivo.
Fundamentalmente, el método de inducción matemática se utilizará para demostrar tres tipos de proposicionescuantificadas, relacionadas como igualdades, desigualdades y divisibilidad, sin embargo, como se mencionó anteriormente, este método se utiliza en muchos campos de la matemática.
Por otro lado, se debe aclarar que, en algunas ocasiones, el primer valor donde la proposición es válida no es n = 0, sino más bien otro valor de n0, en cuyo caso probamos que P(n0) es verdadera.
La inducciónmatemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:
Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad.
A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.
Si seconsigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuandoun número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.
Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los...
INTRODUCCIÓN
El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: “A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas".
Otro método para demostrar resultados generales quedependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática. Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta: ¿dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes?
Esta pregunta la contestaremos en las siguientespáginas.
INDUCCION MATEMATICA
HISTORIA
La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico y matemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).[
Principio de buen ordenamiento.
Todo subconjunto del conjunto de los números naturales tiene un primer elemento, también llamado elemento mínimo.
En algunasocasiones, es necesario demostrar que P(n), una proposición abierta, es válida para todos los números naturales (o para algún subconjunto infinito de IN); para ello, se debe probar que la proposición dada es verdadera para cada uno de los elementos de IN.
Claro que, como el conjunto de los números naturales es infinito, esta afirmación no siempre es fácil de probar. Con esta finalidad, vamos autilizar un método de demostración que se fundamenta en la regla de inferencia modus ponens y en los axiomas de Peano, que se enuncia como:
El método de inducción matemática se utiliza para demostrar que una proposición de la forma (Vn e IN) [P (n)] es verdadera.
Para esto, basta demostrar que
1. P (0) es verdadera.
2. Si P (n) es verdadera, entonces P (n+1) es verdadera.
Esdecir, se prueba la validez de la proposición abierta en n = 0, se asume la validez de la proposición para n, a esta hipótesis se le conoce como hipótesis de inducción (H.I), y se demuestra que la proposición es válida para n + 1, este último se conoce como el paso inductivo.
Fundamentalmente, el método de inducción matemática se utilizará para demostrar tres tipos de proposicionescuantificadas, relacionadas como igualdades, desigualdades y divisibilidad, sin embargo, como se mencionó anteriormente, este método se utiliza en muchos campos de la matemática.
Por otro lado, se debe aclarar que, en algunas ocasiones, el primer valor donde la proposición es válida no es n = 0, sino más bien otro valor de n0, en cuyo caso probamos que P(n0) es verdadera.
La inducciónmatemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:
Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad.
A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.
Si seconsigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuandoun número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.
Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.