induccion matematica

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
Definición
Sea N = {1, 2, 3,. . .} el conjunto de los números naturales, y P(n) una cierta propiedad que puede ser o no cierta para cada númeronatural n. El principio de inducción matemática nos dice que si:
i) P (1) es cierta, es decir, el numero natural 1 verifica la propiedad, y
ii) suponiendo que P (k) es cierta se puede probar que P (k +1) también es cierta,
Entonces, cualquier numero natural verifica la propiedad.

Observaciones
1. El principio de inducción se basa en que los números naturales forman un conjunto cuyo primerelemento es el 1 y que está bien ordenado (todo subconjunto suyo tiene un primer elemento).
2. Si la hipótesis “P (1) es cierta”, se cambia por “P (n0) es cierta”, con n0 ∈ N, entonces el principio deinducción concluye que la propiedad es cierta para cualquier numero natural n ≥ n0.


Teorema fundamental de Inducción Matemática.
Sea Sn una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+.Si Sn satisface las siguientes dos condiciones: 

 

Entonces Sn es cierta para todo n  Z+. 

Demostración

Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual Sn es cierta. Esdecir:

Se observa que 1  k.
Se observa que  k  k  (k + 1)k.
Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k  Z+.
De otra parte  Z+ k. Por consiguiente  Z+= k, esdecir Sn es cierta para todo n  Z+


 

Axiomas De Peano

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX,para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de laaritmética y la teoría de números.
Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural, está en N, el conjunto de los números naturales.
2. Todo número...