Induccion Matematica

Matemática Discreta

Inducción Matemática
Sesión 01

La inducción es un razonamiento que permite demostrar
una infinidad de proposiciones, o una proposición quedepende de un parámetro n que toma una infinidad de
valores, usualmente en el conjunto de los enteros
naturales ℕ.

 Supóngase que una sucesión de cubos obloques
numerados 1,2,… esta situado sobre una mesa infinitamente
larga

1

x

2

x

3

x

4

x

...

Supongamos que:
 (S1) El primer cubo estamarcado
 (S2) Si todos los cubos que preceden al (n+1)e-simo, esta
marcados entonces el (n+1)-esimo cubo también esta
marcado
 Se demostrara que S1 y S2 implican quetodos los cubos
están marcados, examinado los cuerpos uno por uno

 La proposición S1 dice explícitamente que el cubo 1 esta
marcado.
 Consideramos el cubo 2,todos los cubos que preceden al
cubo 2 (es decir el cubo 1) están marcados por lo tanto de
acuerdo con S2 el cubo 2 también lo esta.

 Consideramos el cubo 3, todoslos cubos que preceden al
cubo 3 (es decir el cubo 1 y 2) están marcados por lo tanto de
acuerdo con S2 el cubo 3 también lo esta.

 Consideramos el cubo 4,todos los cubos que preceden al
cubo 4 (es decir el cubo 1,2 y 3) están marcados por lo tanto
de acuerdo con S2 el cubo 4 también lo esta.
 Y así sucesivamente se puededemostrar que todos los cubos
están marcados.

 Este ejemplo nos ilustra el Principio de Inducción
matemática.

Principio de Inducción matemática.
Supóngaseque se tiene un proposición S(n) para cada
entero positivo la cual es verdadera o falsa consideramos
que:
S(1) es verdadera;
Si S(i) es verdadera para todo i