Induccion

´ Indice general
Cap´ ıtulo 1. Nociones de l´gica y conjuntos o 1. Proposiciones 2. Conectivos L´gicos o 3. Proposiciones compuestas ´ 4. Algebra de proposiciones 5. Nociones conjuntistas 6. Algebra en el conjunto de partes 7. M´todos de demostraci´n e o Cap´ ıtulo 2. N´meros Reales u 1. Inducci´n Matem´tica o a 2. Sucesiones 3. L´ ımite de una Sucesi´n o 4. Construcci´n de R o 3 4 7 10 11 16 2427 37 37 41 48 57

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Cap´ ıtulo 1

Nociones de l´gica y conjuntos o
El conocimiento cient´ ıfico es un proceso de modelaci´n del mundo real que o alcanza mayores niveles de precisi´n y exactitud cuando los modelos que se conso truyen son de naturaleza matem´tica, esto se debe a que una de las principales a caracter´ ısticas de estos modelos es la facilidad para hacer deduccciones. Lasmatem´ticas siguen en general un modelo deductivo de razonamiento, esto es, desde a una colecci´n inicial de verdades se van obteniendo, mediante reglas correctas de o deducci´n, nuevas verdades. Es precisamente en este punto donde los conocimieno tos de la l´gica entran en acci´n debido a que la l´gica tiene por objeto el estudio o o o sistem´tico de las condiciones generales de validez de lasdeducciones. Para coma prender un poco mejor el papel de la l´gica es necesario precisar en forma general o como se construyen o establecen las teor´ matem´ticas. ıas a Para establecer una teor´ matem´tica se debe partir con diversos elementos: ıa a Nociones primitivas y Axiomas. Las nociones primitivas son dadas a priori, estas nociones no se siguen de otras o se deducen, porque ellas son lasprimeras. Son elaboradas por abstracci´n a partir de nociones intuitivas. Por ejemplo, de la noci´n o o intuitiva de colecci´n nace la noci´n primitiva de conjunto con t´rminos primitivos o o e como elemento y pertenencia; la igualdad es considerada en muchas teor´ como ıas un t´rmino primitivo. Las nociones derivadas son los ensamblajes de t´rminos prie e mitivos mientras que las expresiones matem´ticasson los ensamblajes que tienen a significado en la teor´ No todos los ensamblajes de t´rminos primitivos son permiıa. e tidos y la teor´ da las reglas que permiten decidir si lo es o no. Los axiomas son las ıa reglas que describen los modos de empleo de los t´rminos primitivos para formar e t´rminos derivados y expresiones matem´ticas. Por ejemplo, en cualquier teor´ la e a ıa igualdad satisfacelos siguientes axiomas: Cualquiera que sea el objeto matem´tico a: a = a. a Cualesquiera que sean los objetos a y b: Si a = b entonces b = a. Cualesquiera que sean los objetos matem´ticos a, b y c: Si a = b y b = c a entonces a = c. Los axiomas se formulan a partir de las propiedades de los objetos del mundo real que est´n representando e incluso a partir de las propiedades que estos deber´ a ıantener. Los axiomas deben tener ciertas caracter´ ısticas: deben ser compatibles, esto significa que de ellos no se puede deducir expresiones que sean simultaneamente verdaderas y falsas; deben ser independientes, en el sentido de que ning´n axioma u debe ser deducido del resto y finalmente deben ser suficientes en el sentido que toda propiedad que se entienda que deben satisfacer los objetos debepoder deducirse de los axiomas.
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´ 1. NOCIONES DE LOGICA Y CONJUNTOS

Una vez que se tienen los axiomas, las propiedades verdaderas ( teoremas) se obtienen mediante deducciones l´gicas (demostraciones) a partir de los axiomas o o de otros teoremas previamente demostrados. Los t´rminos primitivos de una teor´ son designados con el nombre de objetos e ıa de la teor´ las teor´ matem´ticas seapoyan y generan no sobre objetos partiıa; ıas a culares si no sobre conjuntos de objetos de los cuales se hacen abstracciones. En una teor´ se distinguen dos tipos de objetos: Las variables y las constantes. Se ıa emplean letras como x, y, z para representar objetos no determinados cuya unica ´ restricci´n es ser elemento de un conjunto dado y se les llama variables. Por opoo sici´n, todo...