induccion

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Inducción Matemática
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
____________________________________________________________
Tema: -Inducción (Primer y segundo PIM)
Dificultad:
: Simple
: Intermedio
: Desafiante
: Nivel Certamen UTFSM
__________________________________

En cadauno de los siguientes problemas demuestre, usando inducción, que
el enunciado es verdadero para todo ݊ ‫:ܰ א‬

Problema nº 1:

1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ‫ڮ‬൅ ݊ ൌ

ܲሺ݊ሻ: 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ ൌ

Probemos para ݊ ൌ 1 ֜

Solución:
Sea

ܲሺ1ሻ: 1 ൌ

ܲሺ݊ሻ Es verdad, es decir, se cumple:
1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ‫ڮ‬൅ ݊ ൌ

Pero, quiero demostrar para ܲሺ݊ ൅ 1ሻ;

Inducción Matemática/Mat-021
EleazarMadariaga -UTFSM

௡ሺ௡ାଵሻ
ଶ

݊ሺ݊ ൅ 1ሻ
2

௡ሺ௡ାଵሻ

ଶ
ଵሺଵାଵሻ
ଶ

H.I (Hipótesis Inductiva)

Página 1

1൅2൅3൅4൅‫ڮ‬൅݊ ൅݊ ൅1 ൌ

ሺ௡ାଵሻሺ௡ାଶሻ
ଶ

Dem:

En efecto:

1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ‫ڮ‬൅ ݊ ൅ ݊ ൅ 1 ൌ

ൌ

ൌ

Lo que prueba la Tesis.

Problema nº 2:

ൌ

T.I (Tesis Inductiva)
݊ሺ݊ ൅ 1ሻ
൅ ݊൅1
ᇣᇧ 2 ᇧᇥ
ᇧᇤᇧ
ு.ூ

௡ሺ௡ାଵሻାଶሺ௡ାଵሻ
ଶ

௡మ ାଷ௡ାଶ
ଶ

ሺ௡ାଵሻሺ௡ାଶሻ
ଶ

1 ൅ 3 ൅ 5 ൅ 7 ൅‫ ڮ‬൅ ሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ݊ଶ

Solución:
Sea ܲሺ݊ሻ: 1 ൅ 3 ൅ 5 ൅ 7 ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ݊ଶ
Probemos para ݊ ൌ 1 ֜ ܲሺ1ሻ: 1 ൌ 1ଶ

ܲሺ݊ሻ Es verdad, entonces se cumple:

1 ൅ 3 ൅ 5 ൅ 7 ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ݊ଶ

Pero, quiero demostrar para ܲሺ݊ ൅ 1ሻ;

(H.I)

1 ൅ 3 ൅ 5 ൅ 7 ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ2݊ െ 1ሻ ൅ ሺ2݊ ൅ 1ሻ ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻଶ

(T.I)

1 ൅ 3 ൅ 5 ൅ 7 ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ2݊ െ 1ሻ ൅ ሺ2݊ ൅ 1ሻ ൌ ݊ଶ ൅ ሺ2݊ ൅ 1ሻ
ด

Dem:

ு.ூInducción Matemática/Mat-021
Eleazar Madariaga -UTFSM

Página 2

ൌ ݊ଶ ൅ 2݊ ൅ 1
1 ൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ڮ‬൅ ‫ݎ‬

ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻଶ ‫ז‬

Problema nº 3:

ଶ

ଷ

௡ିଵ

(‫ ݎ‬Es una constante, distinta de 1)

ܲሺ݊ሻ: 1 ൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬ଶ ൅ ‫ ݎ‬ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ ݎ‬௡ିଵ ൌ

Solución:

Probemos para ݊ ൌ 1 ֜ ܲሺ1ሻ: 1 ൌ

Sea

ܲሺ݊ሻ Es verdad, entonces se cumple:
1 ൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬ଶ ൅ ‫ ݎ‬ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ ݎ‬௡ିଵ ൌ

௥ ೙ ିଵ(H.I)

௥ିଵ

1 ൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ڮ‬൅ ‫ݎ‬
ଷ

௥ିଵ

௥ିଵ

1 ൅ ‫ ݎ‬൅ ‫ ݎ‬ଶ ൅ ‫ ݎ‬ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ ݎ‬௡ିଵ ൅ ‫ ݎ‬௡ ൌ
ଶ

௥ ೙ ିଵ

௥ భ ିଵ

Pero, quiero demostrar para ܲሺ݊ ൅ 1ሻ;
Dem:

‫ݎ‬௡ െ 1
ൌ
‫ݎ‬െ1

௥ ೙శభ ିଵ

(T.I)

௥ିଵ

௡ିଵ

‫ݎ‬௡ െ 1
൅ ‫ ݎ‬ൌ
൅ ‫ݎ‬௡
‫ݎ‬െ1
௡

ሺ‫ ݎ‬௡ െ 1ሻ ൅ ‫ ݎ‬௡ ሺ‫ ݎ‬െ 1ሻ
ൌ
‫ݎ‬െ1
‫ ݎ‬௡ ሺ1 ൅ ‫ ݎ‬െ 1ሻ െ 1
ൌ
‫ݎ‬െ1
ൌ

Inducción Matemática/Mat-021Eleazar Madariaga -UTFSM

‫ ݎ‬௡ାଵ െ 1
‫ז‬
‫ݎ‬െ1

Página 3

1
1
1
1
݊
൅
൅
൅‫ڮ‬൅
ൌ
ሺ2݊ െ 1ሻ · ሺ2݊ ൅ 1ሻ
1·3 3·5 5·7
2݊ ൅ 1

Problema nº 4:
Sea ܲሺ݊ሻ:
Solución:

൅

൅

൅ ‫ ڮ‬൅ ሺଶ௡ିଵሻ·ሺଶ௡ାଵሻ ൌ

Probemos para ݊ ൌ 1 ֜ ܲሺ1ሻ:
ଵ

ଵ·ଷ

ଵ

ଷ·ହ

ଵ

ହ·଻

ܲሺ݊ሻ Es verdad, entonces se cumple:
൅

൅

ൌ

ଵ

ଵ

ଵ·ଷ

൅ ‫ ڮ‬൅ ሺଶ௡ିଵሻ·ሺଶ௡ାଵሻ ൌ

Pero, quierodemostrar para ܲሺ݊ ൅ 1ሻ;
ଵ

ଵ·ଷ

ଵ

ଵ·ଷ

൅
൅

ଵ

ଷ·ହ

ଵ

ଷ·ହ

Dem:
ଵ

ଵ·ଷ

ଵ

ଷ·ହ

൅
൅

ଵ

ହ·଻

ଵ

ହ·଻

ଵ

ହ·଻

ଵ

௡

ଶ௡ାଵ

ଵ

ଶାଵ

௡

(H.I)

ଶ௡ାଵ

൅ ‫ ڮ‬൅ ሺଶ௡ିଵሻ·ሺଶ௡ାଵሻ ൅ ሺଶ௡ାଵሻ·ሺଶ௡ାଷሻ ൌ
ଵ

ଵ

൅ ‫ ڮ‬൅ ሺଶ௡ିଵሻ·ሺଶ௡ାଵሻ ൅ ሺଶ௡ାଵሻ·ሺଶ௡ାଷሻ ൌ
ଵ

ൌ

ൌ

ൌ

݊ · ሺ2݊ ൅ 3ሻ ൅ 1
ሺ2݊ ൅ 1ሻ · ሺ2݊ ൅ 3ሻ

ൌ

Inducción Matemática/Mat-021
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ଵ

௡ାଵ

ଶ௡ାଷ

௡

ଶ௡ାଵ

(T.I)
൅

ଵ

ሺଶ௡ାଵሻ·ሺଶ௡ାଷሻ

ሺ2݊ ൅ 1ሻሺ݊ ൅ 1ሻ
ሺ2݊ ൅ 1ሻሺ2݊ ൅ 3ሻ
ଶ௡మ ାଷ௡ାଵ

ሺଶ௡ାଵሻሺଶ௡ାଷሻ

௡ାଵ

ଶ௡ାଷ

‫ז‬

Página 4

1ଷ ൅ 2ଷ ൅ 3ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ଷ ൌ ሺ1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ሻଶ

Problema nº 5:

1൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ‫ڮ‬൅ ݊ ൌ

Solución:
Antes de usar Inducción, trabajemos la igualdad un poco:
Sabemos que:

௡ሺ௡ାଵሻ

݊ሺ݊ ൅ 1ሻ ଶ
1 ൅2 ൅3൅‫ڮ‬൅݊ ൌ ൬
൰
2
ଶ

Y reemplazando obtenemos:
ଷ

ଷ

ଷ

ଷ

Entonces sea ܲሺ݊ሻ: 1ଷ ൅ 2ଷ ൅ 3ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ଷ ൌ ቀ
Probemos para ݊ ൌ 1 ֜ ܲሺ1ሻ: 1ଷ ൌ ቀ

ܲሺ݊ሻ Es verdad, entonces se cumple:
1ଷ ൅ 2ଷ ൅ 3ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ଷ ൌ ቀ

ቁ

Pero, quiero demostrar para ܲሺ݊ ൅ 1ሻ;
௡ሺ௡ାଵሻ ଶ

ଶ

1ଷ ൅ 2ଷ ൅ 3ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݊ଷ ൅ ሺ݊ ൅ 1ሻଷ ൌ ቀ
ଶ

ቁ

ଵሺଵାଵሻ ଶ

(H.I)

ଶ

ቁ

ሺ௡ାଵሻሺ௡ାଶሻ ଶ
ଶ

ቁ

௡ሺ௡ାଵሻ ଶ...