induccion

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Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

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0. TEMAS BASICOS
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0.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION
0.2.1. Definici´
on
Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´
umeros naturales, y P (n) una cierta propiedad que puede ser o
no cierta para cada n´
umero natural n. El principio de inducci´
on matem´
atica afirma que si:
i) P (1) es cierta, esdecir, el n´
umero natural 1 verifica la propiedad, y
ii) suponiendo que P (k) es cierta se puede probar que P (k + 1) tambi´en es cierta,
entonces, cualquier n´
umero natural verifica la propiedad.

0.2.2. Observaciones
1. El principio de inducci´on se basa en que los n´
umeros naturales forman un conjunto cuyo primer
elemento es el 1 y que est´a bien ordenado (todo subconjunto suyo tiene unprimer elemento).
2. Si la hip´otesis i), “P (1) es cierta”, se cambia por “P (n0 ) es cierta”, con n0 ∈ N, entonces el principio
de inducci´on concluye que la propiedad es cierta para cualquier n´
umero natural n ≥ n0 .

0.2.3. Ejemplos
1. Demuestra que para cualquier n´
umero natural n se cumple que:
1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)
2

Soluci´
on: En primer lugar, es f´acilcomprobar que la propiedad es cierta para n = 1:
1=

1(1 + 1)
2

Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple:
1 + 2 + 3 + ... + k =

k(k + 1)
2

hay que probar que se cumple para n = k + 1:
k(k + 1)
+ (k + 1) =
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=
=
=
2
2
2

1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . . . + k) + (k+ 1) =

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on
matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´
umero natural.
umero natural n se cumple que:
2. Demuestra que para cualquier n´
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

Soluci´
on: La propiedad es cierta para n = 1:
12 =

1(1 + 1)(2 · 1 + 1)
6

y, suponiendoque la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple:
12 + 22 + 32 + . . . + k 2 =

k(k + 1)(2k + 1)
6

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Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

2

hay que probar que se cumple para n = k + 1:
12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 = 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 =
k(k + 1)(2k + 1)
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2
+ (k + 1)2 =
=
6
6(k + 1) 2k 2 + k + 6k + 6
(k + 1) 2k 2 + 7k + 6
=
=
=
6
6
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
(k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]
=
=
6
6

=

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on
matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´
umero natural.
umero natural n se cumple que n3 − n es divisible por 6.
3. Demuestra que paracualquier n´
Soluci´
on: La propiedad es cierta para n = 1:
13 − 1 = 0

que es divisible por 6

y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que k 3 − k es divisible por 6:
k 3 − k = 6p
hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando:
(k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1 = k 3 + 3k 2 + 2k = (k 3 − k) + 3k 2 + 3k = 6p + 3k(k + 1)
y teniendo en cuenta que elproducto de un n´
umero por su siguiente es m´
ultiplo de 2, ya que alguno
de ellos es par, se cumple que:
(k + 1)3 − (k + 1) = 6p + 3k(k + 1) = 6p + 3 · 2q = 6(p + q)
de donde se concluye que es m´
ultiplo de 6 y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por
el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´
umero natural.
umero natural n ≥ 4 secumple que 2n < n!.
4. Demuestra que para cualquier n´
Soluci´
on: La propiedad es cierta para n = 4:
24 = 16
4! = 24

=⇒ 24 < 4!

Suponiendo que la propiedad es cierta para n = k:
2k < k! es decir, que 2k − k! < 0
hay que probar que se cumple para n = k + 1. Puesto que 2 < k + 1, para k ≥ 4, entonces:
2k+1 − (k + 1)! = 2 · 2k − (k + 1)k! < (k + 1)2k − (k + 1)k! = (k + 1)(2k − k!) < 0...