INDUCCIÓN MATEMÁTICA

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Sea   P   una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos ) . Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n  que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface.
Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usandoel principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:
1° )  Se comprueba para   n   =   1     ( Comprobación ) .
2° )  Se asume que se cumple para   n   =   k     ( Hipótesis deinducción ) .
3° )  Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     ( Tesis ) .
4° )  Se demuestra que si se cumple para   n   =   k  ,  entonces se cumple para   n   =   k   +   1     ( Demostración) .
Observación:   En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural   m   >   1  .  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para   n   =   m  .
Ejemplo 1
Demuestre porinducción matemática que:
Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 .
a ) Sea   n    =    1 , entonces:
n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) .
b ) Sea   n  =   k , entonces:
k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:
( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) .d ) Demostración:
( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 )
k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) .
2 ( k   +   1 )   es divisible por  2     ( Entero par ) .
Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .
Ejemplo 2
Demuestre por inducción matemática que:
2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 n   –   2 )   =    2 n 2
a ) Sea   n    =    1 , entonces:
4 n   –   2    =    2
2 n 2    =    2    ( Verdadero ) .
b ) Sea   n   =   k , entonces:
2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   ...