Inducción

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROBLEMAS DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1
GUSTAVO BALMORI NEGRETE 17 agosto 2012

PROBLEMAS

DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SE VERIFICAN, POR MEDIO DE INDUCCIÓNMATEMÁTICA

2

PROBLEMA 01

3

PROBLEMA 02

1

2

2

2

3

2

... n
1
2

2

n n 1 2n 1 6
1 1
HIM

n 1

P(1): P(k):

1 2 3 6
2

1

2

2

2

3

2... k

Por demostrar (tesis) P(k+1):

k k 1 2k 1 6
2

1 2 3 ... k
1 2 3 ... k
2 2 2 2

2

2

2

2

(k 1)
2

Demostración a partir de la HIM

k 1 k 2 2k 3 6
k k 1 2k 1 6

k +1k +1
2

2

k k 1 2k 1 6 k 1 6 k 1 k 2k 1 6 k 1
6

4

Continua PROBLEMA 02

k 1 k 2k 1 6

6 k 1

k 1 2k

2

7k

6

6
k 1 k 2 2k 3 6

1

2

2

2

3

2

... k2

( k 1)

2

5

1

3

2

3

3

3

... n
3

3
2

n n 1 4

2

2

PROBLEMA 03

n 1
1 1

P(1): P(k):

1

12 1 1 4

1 3 2 3 3 3 ... k 3
P(k+1):
3

k2 k 14
3

2
HIM

Por demostrar (tesis)

1

3

2

3

3 ... k

3

k 1
3

k 1
2

2

k 2 4

2

Demostración a partir de la HIM

1 3 2 3 3 3 ... k 3 k +1

k2 k 1 4
k2 k 1k +1
4 k 1

3

2

3
6

4

Continua PROBLEMA 03

k2 k 1
k 1 k 1
2

2

4k 1 4

3

k2 4
2

4k 1
2

k

4k 4

4

1

3

2

3

3

3

... k

3

k 1

3k 1

2

k 2 4

2

7

PROBLEMA 04

2 > 100
n

P(1): 21> 100

Falso

Por demostrar, tesis P(k+1): 2 k+1> 100 A partir de la HIM (2) 2 k > (2) 100 2 k+1 > 200 2>1 200 > 100 2 k+1 >200 > 100 2 k+1 > 100

P(2): 22 > 100
P(3): 23 > 100

Falso
Falso

P(4): 24 > 100
P(5): 25 > 100

Falso
Falso

P(6): 26 > 100
128 > 100 n ≥7

Falso

P(7): 27 > 100 Verdad

P(k):2k > 100

HIM

Se verifica para todo

n ≥7

8

PROBLEMA 05

3 es factor de n3 – n + 3
P(1): 13 -1 + 3 = 3
verdadero

n

1

P(k): k3 – k + 3 tiene al 3 como factor. Por demostrar...