industrialización

METODO DE GAUSS PARA
ENCONTRAR LA MATRIZ
INVERSA


Introducción
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
 Matriz Inversa
 Cálculo
 Ejemplos
 Propiedades


Carl Friedrich Gauss(1777-1855)


En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan,
llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm
Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistemade ecuaciones
lineales, o encontrar la inversa de una matriz.

MATRIZ INVERSA


Dada la matriz cuadrada A de orden n, se llama
matriz inversa de A aquella que cumple, si es que
existe :
A ·A-1 = A-1 · A = 1, siendo 1 la matriz identidad.



Si |A|= 0 , A-1 no existe

Ejemplo


Sea A=

A · A-1 =

=

y

⋅

=

Cálculo Matriz Inversa


Se coloca la matriz A y asu lado la matriz 1
separadas por una raya vertical de puntos.

Cálculo Matriz Inversa


A continuación se procede a efectuar sobre las filas de
A una serie de operaciones elementales, lasmismas y al
mismo tiempo que sobre las filas de la matriz 1.

Cálculo Matriz Inversa


Cuando, actuando así, hemos logrado
transformar la matriz A en la 1, la matriz
de la derecha, que es la 1transformada,
será la inversa de A.
Es decir: (A ⋮ 1) las mismas operaciones en ambas(1 ⋮ A – 1 )

Matriz Inversa 2x2


Para una matriz 2x2 existe una formula



Sea

EjemploSolución

Ejemplo Matriz 3x3


Supongamos que queremos encontrar la
inversa de:

Ejemplo Matriz 3x3


Primero construimos la matriz M = (A I).

Ejemplo Matriz 3x3


Acontinuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie
de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que
sobre las filas de la matriz I.

Ejemplo Matriz 3x3


Resultado de

Ahora aplicaremos



Resultado de



Aplicamos ahora



Resultado de



Aplicamos



Resultado de



Aplicamos



Resultado de



Aplicamos

...