INECUACIONES LINEALES

INECUACIONES LINEALES  
Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro. Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3 y -3 < -1 para señalar que -3 es menor que -1. Estos ejemplos se conocen comodesigualdades.
Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades.
 
 
Observa que:
4 > -1, porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica.
-2 < 3, porque -2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
-3 < -1, porque -3 está a la izquierda de -1 en la recta numérica
0 > -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica
Una inecuación lineal es una expresión matemáticaque describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9.
 La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.
Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:
1. Para todo número real a, b y c, si a < bentonces: a + c < b + c y a – c < b – c.
2. Para todo número real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:

3. Para todo número real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces:

Ejemplos para discusión: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales y representa la solución en la recta numérica. 
1) x + 5 < 3
2) 3x + 2(x – 4) > 4x
3) 5x – 7≤ 2x + 8
4) 3x + 8 ≥ 5x

 
Inecuaciones complejas
Las inecuaciones complejas son aquellas que consisten de dos inecuaciones que están unidas por la conjunción “ó” (“or”) ó por la conjunción “y” (“and”).
Ejemplos: Resuelve para x y representa la solución en la recta numérica:
 
1) 3x + 2 > 14 ó 2x – 1 < -7
 
2) 5x – 1 ≥ - 4 y 3x – 4 < 8
3) -3x + 1 ≤ 7 ó 3x+ 1 ≤ -4
 
4) -4 ≤ 3x – 1 ≤ 5
 
Práctica: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales e inecuaciones compuestas (ejercicios 4 y 5) y representa la solución en la recta numérica.
1) 5x + 2 < 4 – x
2) 7(x – 3) ≥ 4(1 + 2x)
 
4) 3x – 4 < -1 ó 2x + 3 ≥ 13
5) 3x + 6 > -6 y 4x + 5 < 1
6) -4 ≤ 3x + 1 < 5
INECUACIONES CUADRÁTICAS 
Las siguientes expresiones x2 + 2x < 15 yx2 ≥ 2x + 3 representan inecuaciones cuadráticas. Una inecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación. De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones anteriormente mencionadas sería: x2+ 2x – 15 < 0 y x2 – 2x – 3 ≥ 0.
 
Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.
A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:
1. Escribe la inecuación en forma estándar.
2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
3. Usa las raíces(soluciones) del paso #2 como puntos críticos. Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica. Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.
4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en lavariable de la inecuación. El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.
5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.
 
Ejemplos para discusión: Halla la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas y representarla en la recta numérica.
1) x2 – 2x > 3
2) 6x2 + 7x ≤ 3
Ejercicio de...