inecuaciones racionales

Inecuaciones Racionales
Recordemos que una expresión racional, es una expresión de la forma:
P ( x ) Q ( x )
Donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.
Analicemos la gráfica de expresiones racionales. Para ello, vamos a utilizar la aplicación de abajo. Existen 3 segmentos de recta a la derecha de la gráfica rotulados con las letras a,b y c. Los puntos negros a,b y M son movibles y permitencambiar los valores correspondientes en la expresión:
y = M ( x - a ) ( x - b )
donde a es el intercepto de la gráfica con el eje x (punto A), b es valor donde el denominador es cero y por lo tanto, es el punto donde la expresión no está definida, y M es una constante.
Veamos qué pasa cuando cambiamos la posición de estos puntos.
1. Mueve los puntos para que a = 2, M=-1 y b = 1. Observemos que enla gráfica se distingue claramente dos secciones separadas por la recta x=1. No es coincidencia que corresponda con el valor de b (puedes mover el valor de b para comprobarlo). Note que la gráfica a la izquierda de la asíntota está enteramente por encima del eje x (tiene valores positivos) y la gráfica a la derecha de la asíntota está por debajo del eje x (tiene valores negativos) hastaexactamente el intercepto, punto en el cual nuevamente se hace positiva.
2. Mueve los puntos para que a = -2, M=-1 y b = 1. Observemos que la forma de la gráfica ha cambiado, sin embargo los valores en que la gráfica cambia de signo continuan siendo el intercepto y la asíntota (lo que corresponde a los valores de a y b.
3. Jugar con las posiciones de los puntos para seguir analizando el comportamiento dela gráfica cuando cambian los valores.

En los ejemplos que discutidos verificamos lo siguiente: en una expresión racional, el signo puede cambiar en los puntos en donde el numerador es cero y cerca de un lugar donde el denominador se hace cero, los puntos críticos de la expresión incluirán tanto los valores donde el numerador se hace cero como los lugares donde el denominador se hace cero. Esimportante tener en cuenta que aun cuando los puntos críticos se tratan de la misma forma como límites de los intervalos de prueba, sin embargo, los puntos donde el denominador es cero nunca pueden ser parte de la solución, aun cuando la desigualdad sea o .

Método para resolver inecuaciones Racionales
Para resolver una inecuación racional, se siguen los siguientes pasos:
1. Realizar lasoperaciones necesarias para que todo la expresión racional quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. Además escribir la expresión racional como un solo cociente.
2. Factorizar el numerador y denominador. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a cero.
3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cadafactor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta, teniendo en cuenta que los puntos críticos que hacen cero el denominador nunca son parte de la solución. La soluciónse puede expresar de distintas formas:
Como intervalo
Como conjunto
Gráficamente

Ejemplos de Inecuaciones Racionales
Ejemplo 1:Resolver la siguiente inecuación x - 2 x + 1 > 0Solución:
Paso 1: Realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión racional quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. Además escribir la expresión racional como un solo cociente. 
En estecaso, la expresión racional ya se encuentra al lado izquierdo de la inecuación y el cero en el lado derecho de la inecuación. Además, está expresada como un solo cociente.

Paso 2: Factorizar el numerador y denominador. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a cero. 
Numerador:
x - 2 Ya está completamente factorizado.
Denominador:...