Inecuaciones

DESIGUALDADES
Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.
Resolver una ecuación en x es hallar el conjunto de los números x para los cuales se verifica la ecuación. Resolver una desigualdad en x es hallar el conjunto de los números x para los cuales ladesigualdad se verifica.
[]En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente.
A continuación se muestra una tabla con los 3 tipos denotaciones que se necesitan para resolver una desigualdad.
Notación algebraica | Notación grafica | Notación de intervalo |
x>a | a | ( a , ∞ )
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x<a | a | (-∞, a)
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a>x<b | A b | ( a , b)
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a ≤x≤ b | A b | [ a , b ]
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a<x≤ b | A b | ( a , b]
|a ≤x<b | A b | [ a , b )
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RESOLUCION DE DESIGUALDADES
Resolver una desigualdad con una incógnita, digamos x, quiere decir hallar los números reales para los cuales la desigualdad se cumple. Llamamos conjunto solución al conjunto de tales x.
Propiedades para resolver una desigualdad:
* Para pasar un término de un miembro de una desigualdad al otro,se le cambia el signo.
* Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro de una desigualdad al otro poniéndolo como divisor o viceversa , tomando en consideración lo siguiente:
* Si el factor es positivo el sentido de la desigualdad se conserva.
* Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte.
* DESIGUALDADES TIPO ax + b ≥ 0
Para resolver esadesigualdad se pasa b al segundo miembro.
Quedando: ax ≥ -b
Si a > 0 y como este mismo factor esta multiplicando a la x pasa al otro miembro dividiendo a la b. Dando como resultado:
X ≥ - b / a
-b/a
R= [ -b/a, ∞)
Si a < 0 entonces tendríamos que x ≤ - b/a.

-b/aR= (-∞, -b/a]



* DESIGUALDADES TIPO ax + b ≥ cx + d
Para resolver es necesario hallar otra desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca sola en uno de los miembros. significa despejas la x.
Podemos trasponer términos y escribir en un mismo miembro todos los términos que tienen x , y en el otro los que no:
ax – cx ≥ b – dSe reducen términos semejantes poniendo a x como factor común:
X(a – c) ≥ d – b
Si a – c > 0 entonces x ≥ d – b/ a – c.
Y el conjunto solución será = [ d – b / a – c, ∞).

Si a – c < 0 entonces x ≤ d – b/ a – c. en este caso el conjunto de solución es = ( -∞, d – b/ a – c].
Si a – c = 0, la desigualdad equivalente a la propuesta es:
0 * x ≥ d – b = 0 ≥ d – b.
Lo cual secumple si efectivamente 0 ≥ d – b.
O bien nunca se cumple si d – b > 0, y en este caso el conjunto solución es Ø, es decir en un conjunto vacio.

3. DESIGUALDADES DEL TIPO a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3

Esto quiere decir hallar los números reales x que cumplen simultáneamente las dos desigualdades.
a1x + b1 ≥ a2x + b2 & a2x + b2 ≥ a3x + b3

Para esto sehalla el conjunto solución de cada una de las desigualdades (que son del tipo ax + b ≥ cx + d), se intersecan los dos conjuntos solución obtenidos y esta interacción es el conjunto solución del sistema propuesto.

Geométricamente resolver un sistema de desigualdades de este tipo, quiere decir hallar las x tales que la recta y= a2x + b2 se encuentra entre las rectas y= a1x + b1 y
Y= a3x + b3....