Inecuaciones

4.2. INECUACIONES.
4.2.1. Definición. Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo. La desigualdad: 3x-2 > 2x+4, es una inecuación; pues sólo se cumple para valores mayores de 6; que asuma su incógnita x. 4.2.2. CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION. Se llamaconjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. 4.2.3. RESOLUCION DE UNA INECUACION. El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación. 4.2.4.NECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Son de la forma: ax ± b > 0 ax ± b < 0 ax ± b ≥ 0 ax ± b ≤ 0 Para todo a≠ 0

La idea es despejar el valor de x, teniendo en cuenta las propiedades de los números reales. Ejemplo. 1) Resolver: 5x+2 > x-6 Resolución. La idea es tener la incógnita en un miembro y los números en el otro miembro. 5x + 2 > x - 6 Pasando a x al primer miembro 5x + 2 -x >- 6Matemática I

4x+2>-6 Pasamos ahora 2 al segundo miembro. 4x>-6-2 4x>-8 Pasando 4 al segundo miembro; como está multiplicando ; pasa dividiendo.
> −

>− ∴ ∈ − +

4.2.5. INECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son de la forma:
≠

Donde a, b, c ∈ R, siendo a ≠ 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades delos números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax2+bx+c=0 Pueden presentarse los siguientes casos: I. CASO: RESOLUCIÓN POR DESCOMPOSICION DE FACTORES Deberá tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, tales como: i). El producto de dos números reales es positivo, si sólo si ambos factores son positivos o negativos. Ejemplos. Resolver: x2-3x-4>0Resolución. x2-3x-4=(x-4)(x+1) entonces: (x-4)(x+1) >0
(x − 4)(x + 1) > 0 i) x − 4 > 0 ∧ x + 1 > 0 .......(*) ii) x − 4 < 0 ∧ x + 1 < 0

(*) Si : a.b>0

a>0 o a0 b4 ∧ x>-1 x>4 ….(1) ii) x a ⇔ (x < − a ) ∨ ( x > a )

El procedimiento usual es convertir un trinomio: ax 2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) (b ≠ 0) en un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se procederá de la siguiente forma: a) Se observaráque existan los coeficientes de los términos cuadráticos (x2) , y es lineal (x1) b) El coeficiente del término cuadrático deberá ser: 1….(siempre) c) Se suman ambos miembros el cuadrado de: d) Se llevará a una forma conocida i) o ii). Ejemplo. Resolver la inecuación. x2+3x+3>0 Resolución.
x 2 + 3x + 3 > 0 ; donde : b = 3, a = 1 b 3 = =3 a 1

1 b de . 2 a

Luego deberemos agregar:

1 .3 2

2=

3 2

2

=

9 4

87

Matemática I

x 2 + 3x + 3 + x+ x+ 3 2 3 2
2

9 9 > 4 4

x 2 + 3x + x+

9 9 − +3 > 0 4 4
2

+
2

12 − 9 >0 4 3 4

3 2

+

3 >0 4

>−

La solución será : x ∈ R 4.2.6. INECUACIONES POLINOMICAS DE GRADO ≥ 2(FACTORIZABLES) Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:
P(x) = a0 + a1x + ... + an x n

Cona0 ,a1,...an cons tan tes ≠ 0 ;la cual podemos escribir de la forma:

( x − r )( x − r )( x − r ) ... ( x − r ) > 0
1 2 3 n

Con x ∈ R

A los números r1,r2 ,r3 ,r4 ,...,rn se llaman puntos críticos i) Estos puntos críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero (no importando por ahora el sentido de la desigualdad) ii). Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en larecta numérica real formando intervalos. iii).Una vez colocados estos intervalos, se les asignará signos positivos y negativos en forma alternada, de extremo derecho al izquierdo comenzando siempre por la derecha de la forma:

Para la solución final tomaremos en cuenta las siguientes recomendaciones. a). Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los intervalos...