Inecuaciones

Escuela de Educación Técnica N° 6
Prof. Lorena Laugero

Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: a si a ≥ 0 a = − a si a < 0 Propiedades
Si a y b son números reales y n es un número entero, entonces:

1 ) a ⋅b = a ⋅ b

3 ) an = a

n

2)

a a = b b

4 ) a+b ≤ a + b

La noción de valor absoluto surge de unamanera natural en problemas de distancia. En una recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la distancia es siempre no negativa, la distancia d entre A y B es d = b − a cuando B está a la derecha de A (figura a), y d = a − b cuando B está a la izquierda de A (figura b).

En el primer caso, b − a es positiva, de modo que puede escribirse:

d =b−a = b−a
y en el segundocaso, b − a es negativa, de modo que puede escribirse:

d = a − b = −(b − a) = b − a
Por lo tanto, independientemente de si B está a la derecha o a la izquierda de A, la distancia d entre A y B es:

d = b−a
Para cualquier número real b puede escribirse:

b = b−0
Por lo tanto, el valor absoluto de un número b pude interpretarse geométricamente como su distancia desde el origen sobre unarecta coordenada.
Matemática – 3º año Página 1

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Por ejemplo, si b = 9 , entonces b está a 9 unidades del origen, es decir b = 9 ó b = −9 .

Ejemplo 1: Resolver x − 3 = 4
La solución desde el punto de vista geométrico consta de todas las x que están a 4 unidades del punto 3. Hay dos de estos valores de x, x = 7 y x = −1 .

Desde elpunto de vista algebraico, dependiendo de si x − 3 es positiva o negativa, la ecuación puede escribirse: x−3= 4 ó x − 3 = −4 Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene, x = 7 y x = −1 que concuerda con la solución obtenida geométricamente.

Ejemplo 2: Resolver x − 3 < 4
La solución consta de todas las x cuyas distancias al punto 3 sean menores que 4 unidades, es decir, de todas las x quesatisfacen: −1 < x < 7 Este es el intervalo ]− 1,7[ que se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo 3: Resolver x + 4 > 2
La desigualdad dada puede escribirse:

x − (−4) > 2
Por lo tanto, la solución consta de todas las x cuyas distancias de – 4 sean mayores que 2 unidades. Este es el conjunto: ]− ∞,−6[ ∪ ]− 2,+∞[ , el cual se muestra en la figura.

Matemática – 3º año Página 2

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Propiedades
Para cualquier número real x y cualquier número positivo k:

1 ) x < k ⇔ −k < x < k 2 ) x > k ⇔ x < −k ∨ x > k

Actividades 1 ) Hallar en ℜ, el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. Representar gráficamente el conjunto solución a) −
1 x +3 ≥1 4 3 1 2 6 x − 1 ≤ −2 5

h)

x2 −1 ≥1 2
3x + 7 3 > − 27 4

d) −−

i)

e) x−4 > x−2

j ) x2 − 3 ≤ 2

Inecuaciones polinómicas de orden superior
Las inecuaciones polinómicas de segundo grado con una incógnita son desigualdades de la forma: P( x) > 0 ó P( x) ≥ 0 P( x) < 0 ó P( x) ≤ 0 siendo P (x) un polinomio de segundo grado. Veremos cómo se puede encontrar el conjunto solución de esta clase de inecuaciones.

Ejemplo 1:
x2 − x − 6 > 0
Matemática –3º año Página 3

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Encontramos las raíces del polinomio: x2 − x − 6 = 0 x=3 Factorizamos el trinomio: x 2 − x − 6 = ( x − 3) ⋅ ( x + 2) La inecuación puede expresarse: ( x − 3) ⋅ ( x + 2) > 0 Para que este producto sea mayor que cero ( positivo ) ambos factores deben tener el mismo signo. x = −2

x − 3 > 0 I.  x + 2 > 0Consideremos el primer caso:

ó

x − 3 < 0 II .  x + 2 < 0 ⇒ ⇒ x > 3   x > −2

x − 3 > 0  x + 2 > 0

La solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, es decir el conjunto intersección.

S I = ]3,+∞[

Consideramos el segundo caso:

x − 3 < 0  x + 2 < 0

⇒ ⇒

x < 3   x < −2

La solución de este sistema es el conjunto de valores que...