Inecuaciones

MATHpines

MATEMÁTICAS
IV CONCURSO INTERCENTROS ( 2004 )
PRUEBAS RESUELTAS

Prof. M.Díaz-Pinés

COMUNIDAD DE MADRID

PRUEBA POR EQUIPOS (45 minutos)

* NB / El tiempoindicado es para el total de los 10 Problemas de la Prueba por Equipos

6.- Al intentar resolver la inecuación

> 5 , copié mal el enunciado del problema y en lugar de 5 escribí otro x−2entero positivo. Si mi respuesta a la inecuación fue 2 < x < 4, ¿cuál fue el entero positivo que puse en lugar de 5 en el enunciado?

4

RESOLUCIÓN 4 x−2

La inecuación seconvierte en Si formamos la función f( x )
> f:=x->4/(x-2):'f(x)'=f(x);

>n

f( x ) =

4 x−2

La inecuación 2 < x < 4 significa que tenemos un intervalo original ( en OX ) ( 2, 4 )Veamos cuál es la imagen de ese intervalo La imagen de x = 2 corresponde al límite lim f( x ) Partiendo de que x = 2 es A.V. ( asíntota vertical simple )
>Limit(f(x),x=2,left):"=value(");

x→2

lim
x → 2> Limit(f(x),x=2,right):"=value(");

4 x−2 4 x−2

= −∞

lim
x → 2+
> 'f(4)'=f(4);

=∞

f( 4 ) = 2 Dado que el intervalo original es ( 2, 4 ) , elintervalo imagen es ( 2, ∞ ) Por tanto, la función f( x ) toma valores superiores a 2 Es decir, n=2

Estudio gráfico La función y = f( x ) tiene como gráfica una hipérbola equilátera
>plot([f(x),[2,t,t=-6..6],[4,t,t=0..f(4)],[t,2,t=0..4]],x=-4..8,y=-6..6,color=[blue,black,red$2],discont=true);y=f(x),x=2,y=0,y=2;

6

4 y 2

-4

-2

0

2

4 x

6

8-2

-4

-6

y= Método 2º )

4 x−2

, x = 2, y = 0, y = 2

4
> x=4,2-n>0,n>2;

x−2

−n>0

x = 4, 0 < 2 − n, 2 < n
> n Limit(4/(x-2),x=2,right):"=value(");

4 x−24

lim
x → 2+
> Limit(4/(x-2),x=4,left):"=value(");

x−2

=∞ =2

lim
x → 4-

4 x−2

El intervalo imagen es ( 2, ∞ ) Por tanto, 4 x−2 > 2 => n = 2 Solución : n=2