inecuaciones

ECUACIONES
E
INECUACIONES
PROGRAMACIÓN LINEAL
Teórico
Ejercicios y Problemas

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha
Publicado en [Octubre de 2010] en mi sitio
www.arfsoft.com.uy
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modificación alguna.

ECUACIONES, INEC., PROG. LINEAL

Escrito por Prof.A. Rodrigo Farinha

Introducción e Índice
El propósito de este trabajo es brindar una visión holística, breve, pragmática, sistemática y ¿completa? (con
ejemplos y ejercicios cuidadosamente seleccionados) de los temas:
Ecuaciones e Inecuaciones......................................................................... 3
Ecuación de 1º grado con unaincógnita........................................... 4
Inecuación de 1º grado con una incógnita........................................ 4
Ecuación de 2º grado con una incógnita........................................... 8
Inecuación de 2º grado con una incógnita........................................ 9
Ecuación de 1º grado con dos incógnitas......................................... 12
Inecuación de 1º grado con dosincógnitas...................................... 13
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas................. 16
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.................... 18
Programación Lineal................................................................................ 19
Método para crear un problema de Programación Lineal
de 2 restricciones oblicuas con soluciónentera............................... 24
Ejercicios......................................................................................... 26
Problemas........................................................................................ 27

Para lograr un mejor entendimiento de lo desarrollado en este trabajo, es muy recomendable abordar su
lectura o estudio en forma secuencial.

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ECUACIONES,INEC., PROG. LINEAL

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

ECUACIONES E INECUACIONES
Con 1 incógnita
Con 2 incógnitas
Ecuación Inecuación Ecuación Inecuación
f ( x) < 0

f ( x, y ) < 0

f ( x) ≤ 0
f ( x) = 0

f ( x, y ) ≤ 0
f ( x, y ) = 0

f ( x) > 0
f ( x) ≥ 0

f ( x, y ) > 0
f ( x, y ) ≥ 0

Se llama ecuación a una relación de igualdad que se cumple para algunos valoresde la incógnita (x).
Se llama inecuación a una relación de desigualdad que se cumple para algunos valores de la incógnita (x).

NOTAS:
1. f(x) y f(x,y) representan a expresiones algebraicas.
2. Se plantea en forma genérica como miembro derecho de la ecuación / inecuación al cero. Con esto no se
pierde generalidad ya que en los casos en que no sea cero, se la puede transformar a ese formato:f1 ( x) = f 2 ( x)
→
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0

f1 ( x) ≤ f 2 ( x)

→

f1 ( x) − f 2 ( x) ≤ 0

(En estos casos f ( x) = f1 ( x) − f 2 ( x) )
f1 ( x, y ) = f 2 ( x, y )

→

f1 ( x, y ) − f 2 ( x, y ) = 0

f1 ( x, y ) > f 2 ( x, y )

→

f1 ( x, y ) − f 2 ( x, y ) > 0

(En estos casos f ( x, y ) = f1 ( x, y ) − f 2 ( x, y ) )
etc.

CON 1 INCÓGNITA
•

Si f es de la forma f( x) = ax + b (con a ≠ 0 ) se tiene una ecuación / inecuación “lineal” o “de primer
grado” con una incógnita.
Ejemplos:

•

6 x −1 = 0
−2 x + 4 = 0
−3 x + 11 ≥ 0

Si f es de la forma f ( x) = ax 2 + bx + c (con a ≠ 0 ) se tiene una ecuación / inecuación “cuadrática” o
“de segundo grado” con una incógnita.
Ejemplos:

−2 x 2 + 7 x − 9 = 0
6 x2 + 2 x = 0

x 2 −1 < 0
3ECUACIONES, INEC., PROG. LINEAL

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

Ecuación de 1º grado
ax + b = 0
Paso 1: Hallamos la raíz de ax + b :

ax + b = 0 ⇒ x = −

b
a

solución de la ecuación

(existe porque exigimos antes que a ≠ 0 )
Paso 2: Expresar la solución de la ecuación (valor de x para el cual se cumple la igualdad)
mediante un conjunto.

6 x −1 = 0

Ejemplo:

1
6
1...