Inecuaciones

Ayudant´ C´lculo I ıa a
F´tima Toro, Andr´s Varas a e
Facultad de Ciencia Departamento de F´ ısica Ingenier´ F´ ıa ısica

10 de abril de 2007

Inecuaciones
1 Introducci´n o
Hasta el momento se han visto relaciones entre numeros u objetos en donde se establece y demuestra que estos son iguales y para los cuales existen una gama de operaciones que nos permiten transformarlos (siempremanteniendo la igualdad) para poder sacar conclusiones de ellos, estas son las llamadas ecuaciones, en donde existe un valor desconocido y por medio de ciertos procedimiento se puede llegar al valor de esta variable desconocida, siempre y cuando esta exista, con la existencia de de soluciones nos referimos que estas est´n dentro del cuerpo de los n´meros reales ( ), pero e u dentro de las solucionesantes mencionadas, las ecuaciones de primer grado, ´sea donde el mayor o exponente de la variable desconocida es uno, la soluci´n es una sola y esta siempre existe, para o el caso de las ecuaciones de mayor grado, el grado esta en relaci´n con el exponente mayor de la o variable desconocida, esta soluci´n no siempre existe, y adem´s si existe la cantidad de soluciones o a son siempre menor o igual algrado de la variable, pero generalmente, ya sea en la naturaleza o en otros casos, uno busca determinar los elementos que conforman un conjunto de soluciones y adem´s que cumplan con alguna condici´n, por ejemplo los planetas que son m´s grandes que a o a la tierra, para poder cuantificar y poder poner en lenguaje matem´tico ya no nos sirve la relaa ci´n de igualdad, pues esta estableceexactamente los elementos que son id´nticos en la condici´n o e o pedida, es por casos como este que aparecen las llamadas inecuaciones, esta relaciona elementos por medio de la desigualdad y en algunos casos tambi´n considera la igualdad dentro de los posie bles resultados, las inecuaciones estan basados en los axiomas de orden como condicion primaria, al establecer estos un ordenamiento de los numerospara asi poder satisfacer las condiciones pedidas. Las inecuaciones entregan un conjunto de soluciones independiente del grado de la inecuaci´n. o

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Teoremas de desigualdades

Para poder trabajar con inecuaciones es necesario manejar bien los conceptos e ideas de las desigualdades, dado que estas son su sustento te´rico. o A continuaci´n se dan los teoremas fundamentales para el trabajoposterior de las inecuaciones: o Definici´n 1 : o 1. a ≤ b, si y s´lo si (a < b) ´ (a = b) o o 2. a ≥ b, si y s´lo si (a > b) ´ (a = b) o o Teorema 1 la relaci´n ≤ es: o 1. Reflexiva, para todo a ∈ , a ≤ a e 2. Antisim´trica, si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b, ∀a, b ∈ 3. Transitiva, si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c, ∀a, b, c ∈ Teorema 2 ∀a, b, c ∈ Teorema 3 : 1. ∀a, b ∈ 2. ∀a, b ∈ Teorema 4 : 1. Si a> 0, entonces −a < 0 2. Si a < 0, entonces −a > 0 3. Si a > 0, entonces a−1 > 0 4. Si a < 0, entonces a−1 < 0 Teorema 5 : 1. Si a · b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 2. Si a · b < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) u Teorema 6 El cuadrado de un n´mero real no nulo es siempre positivo. De otra forma si a ∈ , a = 0, entonces a2 > 0 Teorema 7 1 es un n´mero real positivo. De otra forma, 1∈ u Teorema 8 Sean a, b ∈ . si a < b, entonces a < y b es mayor que a y menor que b
a+b 2 +

:a≤b⇔a+c≤b+c

yc∈ yc∈

+ −

, si a ≤ b entonces ac ≤ bc, , si a ≤ b entonces ac ≥ bc

< b, esto es, el promedio aritm´tico entre a e

Definici´n 2 Se dice que un conjunto A de n´meros reales es denso si y s´lo si entre dos elementos o u o x e y de A, existe un elemento z ∈ A, tal que x < z < y2

Teorema 9 Sean a, b, c ∈ , f (x) = ax2 + bx + c y α, β ra´ ıces de f (x) = 0. Entonces: 1. Si a > 0, ax2 + bx + c > 0 tiene por soluci´n: o (a) (b) − [α, β] si f (x) no tiene ra´ ıces reales

2. Si a < 0, ax2 + bx + c > 0 tiene por soluci´n: o (a) ]α, β[ (b) ∅ si f (x) no tiene ra´ ıces reales Las demostraciones de los teoremas anteriores se dejan como ejercicios. Las inecuaciones en...