Inecuaciones

Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: ESO
2º ciclo



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Inecuaciones de primer grado.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.


Inecuaciones.


Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entreexpresiones numé­ricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,
Por ejemplo:
, etc. ...
Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:
la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera.
Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecua­cio­nes.Propiedades de las desigualdades:
Se denominan también transformaciones de equivalencia.
Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en elotro miembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:
, al multiplicar por una cantidad negati­va cambia el sentido de la desigualdad.
, si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.
Simplificación: si sedividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

, si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.
Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cual­quiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.
Una inecuación se verifica solo para algunos valores delas va­riables.
Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.
Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.
Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas solucio­nes.
Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:
Si sumamos orestamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua­ción por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resul­ta es equivalente a la dada.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua­ción por una misma cantidad negativa, lainecuación que resul­ta es de sentido contrario a la dada.
Ejemplos:
, es una inecuación equivalente a la primera.
, operando nos queda, , que es equivalente a la dada, y por último , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso , que es la solu­ción, es decir, todos los valores de la variable meno­res que catorce tercios.
Inecuaciones deprimer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por ex­presión general , y todas sus equivalentes.
.
Ejemplos:
E1.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable x menor o igual que noventa y nueve cientonueveavos.
E2.- , es decir, se cumple para todo valor de lavariable estrictamente mayor que quince die­cisieteavos.
Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resol­ver ecuaciones.
Método analítico:
Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalen­cia y los fundamentos del...