Inecuaciones

UNIDAD I
Números Reales
CONJUNTOS
Definición: Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Denotaremos los
conjuntos con letras mayúsculas A, B, C, etc. Los objetos que componen el conjunto
reciben el nombre de elementos o miembros del conjunto y los denotaremos por letras
minúsculas a, b, c, etc.
Nota: Existen dos formas de escribir un conjunto:
Por extensión por la que podemosdeterminar el conjunto listando todos sus
elementos.
Por comprensión por la que podemos determinar un conjunto, identificando sus
elementos mediante una propiedad común de ellos.
Para escribir un conjunto por extensión, listamos todos sus elementos separados por
comas, y finalmente, encerrados entre llaves. Por ejemplo A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}.
Para escribir un conjunto por comprensiónelegimos un elemento arbitrario x y
señalamos que cumple una determinada propiedad P(x). Finalmente, encerramos toda la
expresión entre llaves: A= {x: P(x)}, se lee “A es el conjunto de todos los elementos x
tales que cumplen la propiedad P(x)”. (Nota “:” es una manera simbólica de escribir
tal que”).
Ejemplos:
1. El conjunto A = {a, e, i, o, u} está expresado por extensión. Si deseamos
expresarel conjunto A por comprensión debemos buscar una propiedad ó
característica en común que contengan cada uno de sus elementos, en este caso
sabemos que los elementos son vocales, por lo tanto el conjunto A se puede
expresar por comprensión como sigue:
A = {x: x es una vocal}.
2. Sea B = {x: x es un número entero positivo menor que cinco}, este conjunto está
expresado por comprensión, paraexpresar B por extensión debemos determinar
el conjunto listando todos sus elementos, es decir B = {1,2,3,4}.
Conjunto Vacío
Dado el conjunto C, C = {x: x es un profesor de matemática con más de trescientos
años de edad} expresado por comprensión, se desea expresar el conjunto por extensión,
entonces debemos encontrar todos los elementos del conjunto; es evidente que C carece
de elementos,debido a que no existe actualmente un profesor con dicha característica.
Por lo tanto, C es un conjunto que carece de elementos, el cual es llamado conjunto
vacío. El conjunto vacío se denota por { } o Φ.
Por lo que C = {} ó C =Φ.
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos
pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal (U).Por

ejemplo si trabajamos en el conjunto de números reales, denotado por ℜ , el universo
son todos los números.
Conjunto Unitario
Un conjunto unitario es aquel que está formado por un solo elemento. Por ejemplo
A= {a}= {x / x=a}
Igualdad de Conjuntos
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Para
denotar que A y B son iguales, escribimos: A = BInclusión de conjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se
dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está contenido en B o que B
contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por: A ⊂ B
Ejemplo:
Consideremos los siguientes conjuntos A={1,3,4,5,8,9}, B={1,2,3,5,7} y C={1,5}.
Podemos observar que todos los elementos del conjunto Cestán en el conjunto A, por
tanto C ⊂ A. De la misma manera podemos observar que C ⊂ B. Sin embargo, no todos
los elementos del conjunto B están en A, por lo que podemos decir que B no está
incluido en A.
Propiedades: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se cumple siempre:
1. Φ ⊂ A ⊂ U (el conjunto vacío está contenido en el conjunto A )
2. A ⊂ A (cualquier conjunto está incluido en sí mismo)3. Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C
4. A=B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A

Operaciones entre Conjuntos
Cuando trabajamos con ecuaciones, problemas, etc. podemos llegar a encontrarnos con
distintas situaciones al querer determinar las soluciones de los mismos, es por ello, que
a continuación se definirá las operaciones entre conjuntos, las cuales constituyen una
herramienta necesaria en la...