Inecuaciones

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

1. Resolver las inecuaciones: Solución

a) 3 - 2x

8 - 7x

b)

6 - 2x 1-x > 5 10

a) Para resolver la inecuación, se pasanlos términos con x al primer miembro y los independientes al segundo quedando 5x 5. 1 , para despejar la x, se obtiene x 1. Multiplicando por 5 Por tanto, las soluciones son los números del conjunto [1, + ). b) Se eliminan los denominadores de la inecuación, multiplicando por 10, 12 - 4x > 1 - x

se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo, -3x > -11 se dividepor -3 cambiándose la desigualdad de sentido al ser -3 un número negativo, Por tanto, las soluciones son los números del conjunto - , 11 . 3 x< 11 . 3

2. Resolver las inecuaciones: a) x2 + 6x - 1 Solución

3x2 + 3x - 6

b) 3x2 + 4 < x4 + 3x3 + 3x

a) Al ser una inecuación polinómica de segundo grado, se agrupan todos los términos en un miembro, por ejemplo, si se pasan al primero queda-2x2 + 3x + 5 0. -1 -3 -3 -3 7 32 - 4(-2)5 49 2 Como las raíces del polinomio -2x + 3x + 5 son x = = = = 5 , 2(-2) -4 -4 2 5 0, y multiplicando por -1 se obtiene la inecuación se puede escribir de la forma -2(x + 1) x 2 5 2(x + 1) x 0. 2 En la siguiente tabla se estudia el signo de los factores, en los intervalos determinados por las raíces, para obtener el signo del polinomio. Signo x+1 5 x2 2(x +1) x 5 2 (- , -1) + -1, 5 2 5 ,+ 2 + + +

+ -

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Así los puntos del conjunto (- , -1)

5 ,+ 2

son solución de lainecuación. Además, como los

extremos de los intervalos también son solución, por ser la desigualdad no estricta, se tiene que el 5 , + . conjunto de soluciones es (- , -1 2 b) Se pasan todos términos al segundo miembro quedando

0 < x4 + 3x3 - 3x2 + 3x - 4.

Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces dividiendo por Ruffini 1 1 1 -4 1 3 1 4 -4 0 -3 4 1 0 1 3 1 4 -4 0 -4 4 0

Por tanto, lainecuación queda de la forma 0 < (x - 1)(x + 4)(x2 + 1). Como el último factor es siempre positivo, para determinar el signo del polinomio, basta considerar el signo de los dos primeros factores, como se muestra en la tabla siguiente. Signo x-1 x+4 (x - 1)(x + 4)(x2 + 1) (- , -4) + (-4, 1) + (1, + ) + + +

Sustituyendo los extremos de los intervalos se observa que no son solución de lainecuación. Por tanto, la solución es el conjunto (- , -4) (1, + ). 4x + x2 - 2 x2 - 2 > 2 x +x x

3. Resolver la inecuación Solución

Observar que si se multiplica en cruz, la desigualdad podría cambiar de sentido dependiendo del signo de los denominadores. Por ello es mejor realizar las siguientes operaciones, con el objeto de agrupar en un miembro todos los términos. Se pasa restando el segundomiembro al primero, 4x + x2 - 2 x2 - 2 > 0. x2 + x x Realizando operaciones en el primer miembro de la inecuación queda 4x + x2 - 2 x2 - 2 4x + x2 - 2 - (x2 - 2) (x + 1) -x3 + 6x 4x + x2 - 2 x2 - 2 = = = 2 x x(x + 1) x x(x + 1) x(x + 1) x +x y factorizando el numerador se obtiene -x3 + 6x x (6 - x2) x ( 6 + x) ( 6 - x) = = . x(x + 1) x (x + 1) x (x + 1)

Teniendo en cuenta que x no puede ser cero, yaque este valor anula los denominadores de la inecuación inicial, se puede simplificar x en la expresión anterior obteniéndose la siguiente
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