Inecuaciones

Desigualdades
Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes, tomadas a lo largo de paralelas a ellos a partir del punto. Se acostumbra a designar los ejes por x e y y las distancias a ellos por ordenada y abscisa respectivamente. La ordenada y la abscisason las coordenadas cartesianas del punto. Al establecer un sistema cartesiano en el plano y fijar la escala, ya sea horizontal, ya vertical, estamos teniendo en cuenta los criterios de ordenación de números. Recuérdese que los números reales no nulos se dividen en dos clases: los positivos que forman el conjunto R + , y los negativos que forman el conjunto R − . Se suele escribir:
a > 0 paraexpresar que el número a es positivo a < 0 para expresar que el número a es negativo

En general se escribe: a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta)
a ≤ b y se lee "a es menor o igual que b" (desigualdad amplia)

a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
a ≥ b y se lee "a es mayor o igual que b" (desigualdad amplia)

Se llama desigualdad a cualquiera de lascuatro expresiones anteriores. Gráficamente, la desigualdad a < b significa que el punto representativo de "a" en la recta real se halla a la izquierda del que representa "b", y la desigualdad a > b significa que el punto representativo de "a" en la recta real se halla a la derecha del que representa "b".

Desigualdad a < b

Desigualdad a > b

Propiedades de las desigualdades
Cuando se utilizandesigualdades o inecuaciones, deben tenerse en cuenta fundamentalmente las siguientes reglas (aunque las enunciamos sólo con el símbolo , ≤ , y ≥ ): I. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

a bc y a b > c c

Ejemplo

Si −10 < 1 ⇒ − 10 ( −2) > 1( −2) ⇒ 20 > −2

El sentido de una desigualdad se conservaal multiplicar (o dividir) sus dos miembros por un mismo número positivo, y se invierte si dicho número es negativo. Aplicando las propiedades anteriores a las inecuaciones tenemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo

La desigualdad 2 x < x + 5 equivale a 2 x − x < 5 , pues basta sumar − x a los dos miembros de la primera

2 x < x + 5 ⇒ 2 x + ( − x) < x + 5 + ( − x) ⇒ 2 x − x < 5 ⇒ x < 5Ejemplo

5 De la expresión 3x < 5 podemos deducir x < , porque para despejar x hemos 3 de dividir por 3 (positivo) los dos miembros de la primera desigualdad. 5 x > − , porque para despejar x 3 hemos de dividir por −3 (negativo) los dos miembros de la primera desigualdad.

Ejemplo

De la expresión −3x < 5 podemos deducir

I.E.S. Historiador Chabás

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Juan Bragado RodríguezIntervalos en R
La relación de orden en los números reales permite definir algunos subconjuntos de números reales que tienen una interpretación geométrica sencilla en la recta real y que se utilizan en las inecuaciones y funciones. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b incluidos a y b. El intervalo se llama cerrado. Este intervalo representa todos los números comprendidosentre a y b excluidos a y b. El intervalo se llama abierto. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b excluido a e incluido b. El intervalo se llama abierto a la izquierda. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b incluido a y excluido b. El intervalo se llama abierto a la derecha. Este intervalo representa todos los números mayores o igualesque a y determina un conjunto de puntos que se llama semirrecta cerrada. Este intervalo representa todos los números mayores que a y determina un conjunto de puntos que se llama semirrecta abierta. Este intervalo representa todos los números menores o iguales que a y determina un conjunto de puntos que se llama semirrecta cerrada. Este intervalo representa todos los números menores que a y...