inecuaciones

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4 INECUACIONES Y SISTEMAS

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

4.1 Escribe las siguientes informaciones utilizando desigualdades.
a) He sacado, por lo menos, un 7 en el examen.
b) Tengo tarifa plana de ADSL de ocho de la mañana a seis de la tarde.
a) x Ն 7
b) 8 Յ x Յ 18
4.2 Construye una tabla que te permita encontrar los valores de x quesatisfacen cada una de estas inecuaciones.
a) 2x ؉ 4 Ͼ 3

c) 8x ؊ 5 Յ 6x ؉ 9

b) x ؊ 5 Ͻ 6 ؊ x

d) 5x ؊ 3 Ն 4x ؉ 6

a)

x
Primer miembro: 2x ؉ 4

Ϫ4

Ϫ2

Ϫ1

Ϫ0,5

2

5

10

Ϫ4

0

2

3

8

14

24

Segundo miembro: 3

b)

x
Primer miembro: x ؊ 5
Segundo miembro: 6 ؊ x

3

3

3

2x ϩ 4 Ͻ 3

xϩ4ϭ3

xϩ4Ͼ3

Ϫ1

0

2

5,5

6

7

10

Ϫ6

Ϫ5

Ϫ3

0,5

1

2

5

7

6

4

0,5

0

Ϫ1

Ϫ4

xϪ5Ͻ6Ϫx
c)

3

5

7

8

910

Ϫ13

19

35

51

59

67

75

3

27

39

51

57

63

69

Segundo miembro: 6x ؉ 9

8x Ϫ 5 Ͻ 6x ϩ 9
d)

2x Ϫ 5 Ͼ 6 Ϫ x

Ϫ1

x
Primer miembro: 8x ؊ 5

2x Ϫ 5 ϭ 6 Ϫ x

x

8x Ϫ 5 ϭ 6x ϩ 9

8x Ϫ 5 Ͼ 6x ϩ 9

3

5

8

9

10

11

12

Primer miembro: 5x ؊ 3

12

22

37

42

47

52

57

Segundo miembro: 4x ؉ 6

18

26

38

42

46

50

54

5x Ϫ 3 Ͻ 4x ϩ 6

5x Ϫ 3 ϭ 4x ϩ 6

5x Ϫ 3 Ͼ 4x ϩ 6

4.3 Escribe lasdesigualdades que resultan al operar los dos miembros de 12 Ͼ 2 en cada apartado.
a) Sumando 3

c) Dividiendo entre 3

b) Multiplicando por ؊2

d) Restando 2
12
2
2
c) ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 4 Ͼ ᎏᎏ
3
3
3
d) 12 Ϫ 2 Ͼ 2 Ϫ 2 ⇒ 10 Ͼ 0

a) 12 ϩ 3 Ͼ 2 ϩ 3 ⇒ 15 Ͼ 5
b) (Ϫ2) и 12 Ͻ (Ϫ2) и 2 ⇒ Ϫ24 Ͻ Ϫ4
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4.4 Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando las reglas de la sumay del producto.
a) 3x ؊ 5 Ͼ 4x

c) 4 ؊ x Ն x ؊ 6

b) 3x ؉ 6 Յ 2x ؉ 10

d) 2 ؉ 6x Ͼ 2x ؊ 3

a) Ϫx Ͼ 5 ⇒ x Ͻ Ϫ5

c) Ϫ2x Ն Ϫ10 ⇒ x Յ 5

b) x Յ 4

Ϫ5
d) 4x Ͼ Ϫ5 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
4

4.5 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3(2x ؉ 2) Ͼ 3(3x ؉ 4)

c) 1 ؊ 2(x ؉ 5) Ն ؊3

1؊x
2؉x
e) x ؉ —— Ͻ 2 ؊ ——
6
2

5x ؊ 7
b) —— Ͻ x ؉ 5
3

d) 2x ؊ 5 Ͻ 2(x ؉ 1) ؉ x

1 ؊ 2x
f) 3x ؊ —— Յ 4 ؉ x
2

a) 6x ϩ 6 Ͼ 9x ϩ 12 ⇒ Ϫ3x Ͼ 6⇒ x Ͻ Ϫ2
b) 5x Ϫ 7 Ͻ 3x ϩ 15 ⇒ 2x Ͻ 22 ⇒ x Ͻ 11
c) 1 Ϫ 2x Ϫ 10 Ն Ϫ3 ⇒ Ϫ2x Ն 6 ⇒ x Յ Ϫ3
d) 2x Ϫ 5 Ͻ 2x ϩ 2 ϩ x ⇒ Ϫx Ͻ 7 ⇒ x Ͼ Ϫ7
5
e) 6x ϩ 1 Ϫ x Ͻ 12 Ϫ 6 Ϫ 3x ⇒ 8x Ͻ 5 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
8
3
f) 6x Ϫ 1 ϩ 2x Յ 8 ϩ 2x ⇒ 6x Յ 9 ⇒ x Յ ᎏᎏ
2
4.6 Encuentra gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones.
a) x ؊ 2 Ͼ 3

d) 2x ؉ 1 Յ 3x

b) 3x ؊ 3 Ͻ x ؉ 1

e) x ؊ 2 Ն 2x ؊ 3

c) 1 ؊ 2x Ն 2x ؉ 4

f) 5 ϩ x Ͻ x ؉3

a)

d)

Y

1

1
0

b)

1

O

X

e)

Y

1
O

c)

1

X

1

X

1

X

Y

1
1

O

X

f)

Y

1
O

Y

Y

1
1

O

X

a) x Ͼ 5

d) x Ն 1

b) x Ͻ 2

e) x Յ 1

3
c) x Յ Ϫᎏᎏ
4

f) л
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4.7 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) x 2 ؊ 2x ؊ 3 Ͼ 0

d) x 2 ؉ 1 Ͻ 0

b) x 2 ؊ 8x ؉ 12 Ն 0

e) x(x ؉ 1)(x ؊ 2) Ͼ 0

c)

4x ؉ 4x ؊ 3 Յ 0

f) x 3 ؊ 9x Յ 0

2

3
2 Ϯ ͙4๶
ϩ12
a) x ϭ ᎏᎏ =
⇒ P(x) ϭ (x Ϫ 3)(x ϩ 1)
2
Ϫ1

Ό

(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 3)

(3, ϩϱ)

Signo del primer factor: (x Ϫ 3)

Ϫ

Ϫ

ϩ

Signo del segundo factor: (x ϩ 1)

Ϫ

ϩ

ϩ

Signo del polinomio: P(x) ϭ (x Ϫ 3)(x ϩ 1)

ϩ

Ϫ

ϩ

(Ϫϱ, 2)

(2, 6)

(6, ϩϱ)

Signo del primer factor: (x Ϫ 6)

Ϫ

Ϫ

ϩ

Signo del segundo factor: (x Ϫ 2)

Ϫ

ϩ

ϩ

Signo del polinomio: P(x) ϭ (x Ϫ 6)(x Ϫ 2)

ϩ

Ϫ

ϩ

Solución: (Ϫϱ, Ϫ1) ഫ(3, ϩϱ)
6
Ϫ 48๶
8 Ϯ ͙64
๶
b) x ϭ ᎏᎏ =
⇒ P(x) ϭ (x Ϫ 6)(x Ϫ 2)
2
2

Ό

Solución: (Ϫϱ, 2] ഫ [6, ϩϱ)

Ό

1
ᎏᎏ
16 ϩ 48๶
Ϫ4 Ϯ ͙๶
1
c) x ϭ ᎏᎏ = 2
⇒ P(x) ϭ x Ϫ ᎏᎏ
3
8
2
Ϫᎏᎏ
2
1
Signo del primer factor: x Ϫ ᎏᎏ
2
3
Signo del segundo factor: x ϩ ᎏᎏ
2
1
3
Signo del polinomio: P(x) ϭ x Ϫ ᎏᎏ x ϩ ᎏᎏ
2
2

΂

΂

΂

΃

΂

΃

΃΂

΃΂x ϩ ᎏ32ᎏ΃

΃

΂Ϫϱ, Ϫᎏ32ᎏ΃ ΂Ϫᎏ32ᎏ, ᎏ12ᎏ΃ ΂ᎏ12ᎏ, ϩϱ΃
Ϫ

Ϫ

ϩ

Ϫ

ϩ

ϩ

ϩ

Ϫ

ϩSolución: [Ϫ1,5; 0,5]
d) x 2 ϩ 1 Ͼ 0 para todo x ʦ R. Por tanto, x 2 ϩ 1 Ͻ 0 no tiene solución.
e)

(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 0)

(0, 2)

(2, ϩϱ)

Signo del primer factor: x

Ϫ

Ϫ

ϩ

ϩ

Signo del segundo factor: (x ϩ 1)

Ϫ

ϩ

ϩ

ϩ

Signo del tercer factor: (x Ϫ 2)

Ϫ

Ϫ

Ϫ

ϩ

Signo del polinomio: P(x) ϭ x (x ϩ 1) (x Ϫ 2)

Ϫ

ϩ

Ϫ

ϩ

(0, 3)

(3, ϩϱ)

Solución: (Ϫ1, 0) ഫ (2, ϩϱ)
f) x 3 Ϫ 9x ϭ x (x Ϫ 3) (x ϩ 3)...