Inecuaciones

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Inecuaciones

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
•

Resolver inecuaciones de
primer y segundo grado con
una incógnita.

•

Resolver sistemas de
ecuaciones con una incógnita.

•

Resolver de forma gráfica
inecuaciones de primer grado
con dos incógnitas.

•

Resolver de forma gráfica
sistemas de inecuaciones de
primer grado con dos
incógnitas.

•

Plantear y resolver problemas
coninecuaciones.

1.Inecuaciones de primer grado ……… pág. 74
con una incógnita
Definiciones
Inecuaciones equivalentes
Resolución
Sistemas de inecuaciones
2.Inecuaciones de segundo grado …… pág. 77
con una incógnita
Resolución por descomposición
Resolución general
3.Inecuaciones de primer grado ……… pág. 80
con dos incógnitas
Definiciones
Resolución gráfica
Sistemas de inecuaciones
4.Problemas con inecuaciones………… pág. 83
Planteamiento y resolución
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS B „

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72

„ MATEMÁTICAS B

Inecuaciones
Antes de empezar

Para ponerte en situación
Las inecuaciones se utilizan con
frecuencia para resolver problemas de
mezclas. Aquí se te plantea un
problema para que vayas investigando
por tu cuenta. En elcapítulo 4
encontrarás la solución si no has
conseguido hallarla tú solo.
Un vinatero dispone en su almacén de
dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y
otro a 7€ el litro. Quiere mezclarlos
para llenar un tonel de 500 litros de
capacidad y quiere que la mezcla no
cueste más de 6€ ni menos de 5€ el
litro. Averigua entre qué valores debe
estar la cantidad de litros del primer
tipo de vino para que elprecio final esté
en el intervalo deseado.

Las imágenes adjuntas te presentan dos
situaciones próximas a la solución del
problema. Usa la calculadora para
intentar aproximar más los resultados al
valor real de la solución.

MATEMÁTICAS B „

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Inecuaciones
1. Inecuaciones de primer grado
con una incógnita
Definiciones
Una desigualdad es cualquier expresión en la que se
utilice alguno de lossiguientes símbolos:
< (menor que), > (mayor que)
≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que)
Por ejemplo:
2<3 (dos es menor que 3)
7>π (siete es mayor que pi)
x≤5 (x es menor o igual que 5)
Una inecuación es una desigualdad entre
expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de
primer grado.

Una inecuación de primer grado es una
inecuación en la que sus dos miembros son
polinomios de gradomenor o igual a 1.
Las soluciones de una inecuación son todos los
números reales que hacen que dicha inecuación sea
cierta.

Inecuaciones equivalentes
El proceso de resolución de inecuaciones que veremos
después se basa (igual que en el caso de las
ecuaciones) en la transformación de la inecuación
inicial en otra equivalente más sencilla.
Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si
tienen elmismo conjunto de soluciones.

9 Si a los dos miembros de una inecuación se les

suma o resta la misma cantidad, se obtiene una
inecuación equivalente.

9 Si se multiplican o dividen los dos miembros de
una inecuación por una misma cantidad, se
obtiene una inecuación equivalente con el mismo
sentido de la desigualdad, si esa cantidad es
positiva, y con el sentido contrario si esa cantidad
esnegativa.

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„ MATEMÁTICAS B

Inecuaciones
Resolución
Este proceso consiste en ir transformando la
inecuación inicial en otras equivalentes más simples
hasta que el resultado final sea de alguno de los
siguientes tipos:

o hasta que el resultado final sea contradictorio, en
cuyo caso, la inecuación no tiene soluciones.
EJEMPLO:

x+2 ≤ 1

Restamos 2 a los dos miembros y queda:

x ≤ -1

El conjunto desoluciones se representa de cualquiera de las
siguientes maneras:
a) Como conjunto: {x ∈ IR / x ≤ -1}

b) Como intervalo: (−∞, − 1]
c)

⎧x < 2
⎨
⎩x < 4

⇒

x ∈ (−∞,2)
x ∈ (−∞,4)

En forma gráfica:

Sistemas de inecuaciones

Soluciones del sistema: x ∈ (−∞,2)

Un sistema de inecuaciones de primer grado es
un conjunto de dos o más inecuaciones de primer
grado.

⎧x ≤ 9
⎨
⎩x > 4

x ∈ (−∞, 9]
⇒
x ∈...