Inegrales Con Formulas

4. Integrales de Funciones Trigonométricas
Recuerda que en la definición de una anti derivada que, si
d/dx f(x)=g(x), 
Entonces
∫ g(x) dx=f(x)+C. 
Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula dediferenciación, obtenemos una fórmula de integración automáticamente. Aquí esta una lista de algunos de ellos.
Regla derivada
Regla anti derivada
d/dx sen x=cos x
∫ cos xdx=sen x+C
d/dx cos x=−sen x∫ sen xdx=−cos x+C
d/dx tan x=sec2 x
∫ sec2 xdx=tan x+C
d/dx cotan x=−cosec2 x
∫ cosec2 xdx=−cotan x+C
d/dx sec x=sec x tan x
∫ (sec x tan x) dx=sec x+C
d/dx cosec x=−cosec x cotan x
∫ (cosec x cotan x)dx=−cosec x+C
Ten en cuenta que, por casualidad, hemos encontrado fórmulas para las anti derivadas de
Sen x
Y
Cos x.
Pregunta
¿Y qué de los otros cuatro?
Respuesta
Vamos a obtener algunos deellos a continuación, y dejaremos los otros para el conjunto de ejercicios. (Algunos de ellos ya aparecieron como derivadas en el conjunto de ejercicios 3...).

Ejemplo 1
Calcula las siguientes.
(a)∫ (3sen x−4sec2 x) dx
 (b)
∫ Cos (2x−6) dx

(c)
∫ Sen Xcos2 xdx
                  (d)
∫ Tan xdx
Solución
(a) Consultando la tabla de arriba,
∫ (3sen x−4sec2 x) dx
=∫ 3sen xdx−∫ 4sec2 xdx
(propiedadesde integrales)

=3 ∫ sen xdx−4 ∫ sec2 xdx
(propiedades de integrales)

=−3cos x−4tan x+C
(de la tabla)
(b) El cálculo de
∫ Cos (2x−6) dx
Requiere una sustitución:
u=2x−6

dudx=2

dx=12du
Ahoratenemos
∫ cos(2x−6) dx
=∫ cos u 12du
(usando la sustitución)

=12∫ cos udu
(propiedades de integrales)

=12sen u+C
(de la tabla)

=12sen(2x−6)+C.
(usando la sustitución)
(c) Éste también se puede hacerusando una sustitución. El truco es sustituir para el término
Cos x
De la siguiente manera:
u=cos x

dudx=−sen x

dx=−1sen xdu
Ahora tenemos
∫ sen x cos2xdx
=∫ (sen x)u2 (−1sen x) du
(usando lasustitución)

=−∫ u2 du


=−u33+C


=−cos3x3+C.
(usando la sustitución)
(d) Escribe
∫ Tan xdx
Como
∫ (sen x / cos x) dx,
Y usa la sustitución como en la parte (c):
∫ tan xdx
=∫ sen xcos xdx

=∫ sen...