inercia

Deducción del periodo[editar]


Figura 1. Péndulo físico..
El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el planovertical que pasa por el eje de rotación.

Llamaremos h\, a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo \theta\,, actúan sobre él dos fuerzas (mg\, y N\,) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativodel mismo; i.e.,

(1)M_\text{e} = - mgh \sin \theta \,

Si es I_\text{O}\, el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos \ddot{\theta} a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

(2)- mgh \sin \theta = I_\text{O} \ddot{\theta}

que podemos escribiren la forma

(3) \ddot{\theta} + {mgh \over I_\text{O}} \sin \theta = 0

que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.

En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma

(4) \ddot{\theta} + {mgh \over I_\text{O}} \theta = 0

que correspondea un movimiento armónico simple.

El periodo de las oscilaciones es

(5) T = 2\pi \sqrt{{I_\text{O} \over mgh}}

Longitud reducida[editar]
Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando laexpresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir

(6) T = 2\pi \sqrt{{I_\text{O} \over mgh}} = 2\pi \sqrt{{\lambda\over g}}

y, por lo tanto, tenemos que

(7) \lambda = {I_\text{O} \over mh}

Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje desuspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ.

Puntos conjugados[editar]
Es conveniente sustituir en la expresión [5] el valor del momento de inercia IO del péndulo respecto aleje de suspensión ZZ′ por el momento de inercia IG del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad del péndulo. Así, sirviéndonos del teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo respecto a este último eje, podemos escribir



Figura 2. Representación gráfica de la dependencia del periodo con la distancia entre el centro de suspensión (O) yel de gravedad (G).
(8) I_\text{O} = I_\text{G} + mh^2 = mK^2 + mh^2 = m (h^2 + K^2)\,

de modo que la expresión [5] se transforma en

(9) T = 2 \pi \sqrt{{h^2+K^2}\over gh}

En la Figura 2 hemos representado gráficamente la función T(h). Obtenemos una curva con dos ramas, que corresponden a colocar el eje de suspensión a un lado u otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramasson simétricas respecto al eje vertical, en la práctica bastará con hacer observaciones a un sólo lado del c.d.g.. Como queda bien manifiesto en la representación gráfica de Figura 2, la función T(h) dada por [9], el periodo de las oscilaciones presenta un valor mínimo para un cierto valor de la distancia h existente entre el centro de gravedad y el eje de suspensión. A partir de la expresión [9]...