Inercia

10. Dinámica del cuerpo rígido

10. DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO
Un cuerpo rígido cuya densidad es ρ (r ′) se puede estudiar como un sistema de partículas de
masa dm = ρ ( r ′)dV cuya posición relativa no varía con el tiempo. En realidad no hay cuerpos
perfectamente rígidos ya que todos los materiales se deforman en mayor o menor medida cuando
están sometidos a esfuerzos. Pero como en muchoscasos las deformaciones se pueden despreciar el modelo de cuerpo rígido es muy útil. Igual que para un sistema de masas puntiformes el
centro de masa o baricentro de un cuerpo rígido se define como el punto CM cuya posición
(Fig. 10.1) está dada por
R=

∫ r ′ρ(r ′)dV = ∫ r ′ρ(r ′)dV
m
∫ ρ(r ′)dV

(10.1)

siendo m la masa del cuerpo. Si r es la posición del elemento ρ ( r ′)dV respectode CM,
r ′ = R + r y de la definición (10.1) resulta ∫ rρ ( r )dV = 0 .

dm =ρ dV

r
r'

CM

R
O

Fig. 10.1. Centro de masa de un cuerpo rígido.
Como vimos en el Capítulo 3, el movimiento más general de un cuerpo rígido es una combinación de traslación y rotación. Hay muchas maneras de describir este movimiento pero esencialmente todas parten de elegir un punto relacionado con elcuerpo, que puede ser parte de él o simplemente estar vinculado geométricamente a él. Se describen entonces las traslaciones de ese
punto y las rotaciones del cuerpo respecto de dicho punto. La elección del punto es arbitraria y
se basa en la conveniencia.
Si el cuerpo rígido está vinculado (por ejemplo si tiene un punto fijo o un eje fijo) es natural elegir el punto en forma de aprovechar esacircunstancia y simplificar el tratamiento del problema.
Si el cuerpo no está vinculado es natural tomar como referencia al centro de masa y describir las
traslaciones del centro de masa y las rotaciones respecto de él.

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10. Dinámica del cuerpo rígido
Traslaciones del centro de masa
Lo visto en el Capítulo 8 para sistemas en general vale también para un cuerpo rígido1. La ecuación delmovimiento del centro de masa es entonces
˙˙ = F , F = ∑ F
mR
e
e
i, e

(10.2)

siendo Fe la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo (Fig. 10.2). El
momento angular respecto del punto de observación debido al movimiento del centro de masa es

LCM = R × P , P = mR˙

(10.3)

dLCM
= R × Fe = Me
dt

(10.4)

y su variación está dada por

donde Me es elmomento respecto de O de la resultante de las fuerzas externas, considerada
como si estuviese aplicada en CM. La dinámica del centro de masa es pues equivalente a la de
un objeto puntiforme y por ese motivo de ahora en más no la vamos a considerar.

Me = R ×Fe
LCM = R ×P
Fe
CM

P
R
O

Fig. 10.2. Movimiento del baricentro de un cuerpo rígido.
Rotaciones de un cuerpo rígido
Respecto de ladinámica del punto, la novedad en el movimiento de un cuerpo rígido está constituida por las rotaciones y ese es el objeto de estudio de este Capítulo. Salvo expresa mención
en contrario nos referiremos a rotaciones alrededor de un eje (instantáneo) que pasa por CM. Sea
pues ω la velocidad angular respecto del centro de masa en un instante dado. Un elemento
1

No nos tenemos que preocupar porlas interacciones entre los distintos elementos del cuerpo ya que esas fuerzas

no realizan un trabajo neto al no cambiar las posiciones relativas de los mismos.

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10. Dinámica del cuerpo rígido
dm = ρdV cuya posición respecto de CM es r tiene una velocidad de rotación vr = ω × r . Si V
es la velocidad de CM, la velocidad de dm respecto de un observador en O es
v = vr + V = ω × r + V(10.5)

Si en lugar de referir el movimiento de dm a CM lo referimos a otro punto P del cuerpo (Fig.
10.3) tenemos que v = vr ′ + vP siendo v r′ la velocidad de dm respecto de P y vP = ω × rP + V la
velocidad de P respecto de O. Luego ω × r = vr ′ + ω × rP y entonces

vr ′ = ω × ( r − rP ) = ω × r ′

(10.6)

w
dm

r'

r
rP

P

CM

O

Fig. 10.3. Rotaciones de un cuerpo...