Inevestigacione de mercado

Tema 4
MODELOS CONTINUOS I

EJERCICIO 4.1 Los siguientes datos fueron reunidos por un investigador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a
estudiar el aumento de bacterias.
N´ mero de minutos
u
N´ mero de bacterias
u

0
5.000

10
8.000

Suponiendo que el n´ mero de bacterias crece exponencialmente,
u
¿cu´ntas bacterias habr´ despu´s de 30 minutos?.
a
a
e• Sea y(t) el n´mero de bacterias presentes en el cultivo despu´s de t minutos. Como el
u
e
n´mero de bacterias crece exponencialmente, y puesto que al comienzo hab´ 5.000
u
ıa
bacterias, y(t) ser´ una funci´n de la forma
a
o
y(t) = y(0)ert = 5.000ert .
Ya que pasados 10 minutos hay 8.000, se obtiene
8.000 = 5.000e10r

⇒

r = 0.047 .

En consecuencia, al cabo de 30 minutos eln´mero de bacterias ser´
u
a
y(30) = 5.000e0.047×30 = 20.479

lxxix

lxxx

Tema 4 Modelos continuos I

EJERCICIO 4.2 Sea el modelo de poblaci´n
o
y(t)
dy(t)
= 0.3 1 −
dt
200

y(t)
− 1 y(t) ,
50

(4.1)

donde y(t) es el n´ mero de individuos en tiempo t.
u
1.- ¿Para qu´ valores de y(t) est´ en equilibrio la poblaci´n?.
e
a
o
2.- ¿Para qu´ valores de y(t) est´creciendo la poblaci´n?.
e
a
o
3.- ¿Para qu´ valores de y(t) est´ decreciendo la poblaci´n?.
e
a
o

• Los puntos de equilibrio corresponden a las soluciones constantes y se encuentran
anulando y (t).
y (t) = 0.3 1 −

y(t)
200

y(t)
− 1 y(t) = 0
50

⇒

y(t) = 0, y(t) = 200, y(t) = 50 .

• Por otro lado, la poblaci´n crecer´ cuando y (t) sea positiva. De (1.1) se tiene
o
a
y (t)= 0.3 1 −

y(t)
200

y(t)
− 1 y(t) > 0
50

⇒

y(t) ∈ (−∞, 0) ∪ (50, 200) .

• Del mismo modo, la poblaci´n decrecer´ cuando
o
a
y (t) = 0.3 1 −

y(t)
200

y(t)
− 1 y(t) < 0
50

⇒

y(t) ∈ (0, 50) ∪ (200, ∞) .

EJERCICIO 4.3 Una curva de Gompertz es la gr´fica de una funci´n de
a
o
rt
la forma y(t) = c a donde 0 < r < 1 es la tasa de crecimiento y a y c sonconstantes positivas. Los psic´logos y otros investigadores utilizan este
o
tipo de curvas para describir aspectos como crecimiento y aprendizaje.
Con base en diversas proyecciones, una compa˜´ predice que el n´ mero
nıa
u
(0.4)t
.
de empleados que tendr´ en t a˜ os ser´ y(t) = 500(0.03)
a
n
a
1.- ¿Cu´ntos empleados tiene ahora la compa˜´ (t=0)?.
a
nıa
2.- ¿Cu´ntos empleados tendr´ en 5 a˜os?.
a
a
n
(a)

15

(b)

482

lxxxi

EJERCICIO 4.4 Consideremos las dos siguientes ecuaciones diferenciales que modelan las tasas de memorizaci´n de un poema por dos estuo
diantes. La tasa de Juan es proporcional a la cantidad por aprender. La
tasa de Carmen es proporcional al cuadrado de la cantidad por aprender.
dLJ
= 2(1 − LJ ) ,
dt

dLC
= 3(1 − LC )2 ,
dt

donde LJ (t)y LC (t) son las fracciones del poema memorizadas en el
tiempo t por Juan y Carmen, respectivamente.
1.- ¿Qu´ estudiante tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t = 0,
e
a a
si ambos empiezan la memorizaci´n juntos y nunca antes han visto
o
el poema?
2.- ¿Qu´ estudiante tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t =
e
a a
0, si ambos comienzan a memorizar juntos habiendo aprendidola
mitad del poema?
3.- ¿Qu´ estudiante tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t = 0,
e
a a
si ambos comienzan a memorizar juntos habiendo aprendido un
tercio del poema?
• En el primero de los casos, sustituimos en las ecuaciones diferenciales los valores
LJ (0) = LC (0) = 0. En consecuencia, LJ (0) = 2 y LC (0) = 3, y por tanto la
respuesta es Carmen.
• En el caso siguiente esJuan quien tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t = 0,
a a
ya que LJ (0) = 1 y LC (0) = 0.75.
• Por ultimo, es inmediato comprobar que en el tercero de los casos las tasas son
´
iguales.

EJERCICIO 4.5 Se estima que dentro de t meses la poblaci´n de cierto
o
2
pueblo cambiar´ a una raz´n de 4+5t 3 personas por mes. Si la poblaci´n
a
o
o
actual es de 10.000 personas, ¿cu´l ser´...